Sur une comparaison entere l'oscillation des moyennes de Cesàro et de Hölder. (Q563810)

\(s_n\) sei eine gegebene reelle Folge, \(p\geqq 1\) ganz; \((h_n^p)\) bedeute die Folge der \textit{Hölderschen}, \(c_n^p\) die Folge der \textit{Cesàro}schen, Mittel \(p\)-ter Ordnung von \((s_n)\). Verf. gibt zunächst an, daß\ nach dem \textit{Knopp-Schneeschen} Satz \((h_n^p)\) und \((c_n^p)\) ``gleichzeitig gegen denselben endlichen oder unendlichen Grenzwert'' streben. Diese Aussage muß\ aber eingeschränkt werden, denn bei einem von \textit{Schur} gegebenen Beispiel (Math. Ann. 74 (1913), 447-458 (F. d. M. 44, 280 (JFM 44.0280.*)), insbes. S. 453) einer Zahlenfolge \((s_n)\) strebt \(h_n^p \to +\infty \), wogegen das entsprechende \(c_n^p\) die Häufungsgren\-zen 0 und \(+\infty \) hat. Weiter wird gezeigt: Bedeutet \(h\) das Oszillationsintervall von \((h_n^p)\) und \(c\) das Oszillationsintervall von \(c_n^p\), d. h. ist \[ h=\underset {n\to \infty } {\lim \sup }\,h_n^p - \underset {n\to \infty } {\lim \inf }\,h_n^p \quad \text{und} \quad c=\underset {n\to \infty } {\lim \sup }\,c_n^p - \underset {n\to \infty } {\lim \inf }\,c_n^p, \] so gilt \[ h\leqq c \leqq h \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots (2p-1). \] Dieser Satz zeigt starke Ähnlichkeit mit dem von \textit{Dobrovolski} (1926;F. d. M. 52, 216 (JFM 52.0216.*)) für reelle Folgen, von \textit{Knopp} (M. Z. 31 (1929), 97-127 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 330), insbesondre S. 125) für komplexe Folgen bewiesenen Resultat: \((s_n)\) sei \((C,p+1)\)-limitierbar zum Werte \(s\). Dann geht der Kern von \((c_n^p)\) aus dem Kern von \((h_n^p)\) durch eine Streckung im Verhältnis \(1:p\)! hervor, die von \(s\) als Zentrum aus vorgenommen wird.