On the absolute summability (A) of infinite series. (Q563824)

Verf. hatte früher (1914; F. d. M. {bf 45}, 1274) die absolute \textit{Cesàro}- und \textit{Hölder}-Summierbarkeit ( \(| C_r | \) -und \(| H_r | \)- Summierbarkeit) für ganzzahlige positive Ordnung \(r\) erklärt und ihre Aquivalenz dargetan. Nach \textit{Whittaker} (1931; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 251) heißt ferner die Reihe \(\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_n\) absolut \textit{Abel}-summierbar (\(| A| \)-summierbar), wenn erstens die Reihe \[ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_nx^n \quad \text{für} \quad 0\leqq x<1 \quad \text{konvergiert} \] Und zweitens \(f(x)\) in \((1,0)\) von beschränkter Schwankung ist. Von \textit{Whittaker} rührt auch die Bemerkung her daß\ absolute Konvergenz der Reihe \(\sum a_n\) ihre \(| A| \)-Summierbarkeit nach sich zieht. Als neue hinreichende Bedingung für die \(| A| \)-Summierbarkeit wird hier gezeigt, daß\ für ganzes positives \(r\) aus der \(| C_r| \)- Summierbarkeit ebenso die \(| A| \)-Summierbarkeit folgt. (Wegen der oben erwähnten Äquivalenz kann hier \(| C_r| \) auch durch \(| H_r| \) ersetzt werden. ) Jedoch wird durch ein Beispiel belegt, daß\ eine \(| A| \)-summierbare Reihe für keine Ordnung \(r\quad | C_r| \)-summierbar zu sein braucht.