Sur une généralisation de la sommation de Mittag-Leffler. (Q563834)

Es konvergiere die Reihe \[ u(x)=e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty } \frac {u_{n+1}x^{\alpha n+p}}{\varGamma (\alpha n+p+1)} \qquad (\alpha >0) \] für jedes \(x\), und es sei \[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac {1}{\varphi (x)} \int \limits _{0}^{x}u(t) \cdot \varphi (x-t)dt=s-u_0 \] für eine positive nicht abnehmende Funktion \(\varphi (x)\), die der Bedingung\newline \(\lim \limits _{x\to \infty }\dfrac {\varphi (x+a)}{\varphi (x)}=1\) genügt. Alsdann nennt Verf. die Reihe \(\sum u_n\) summierbar \((E_{\alpha }^{p},\varphi )\) mit der Summe \(s\). Für diese Summierung werden einige Sätze ohne Beweis mitgeteilt.