On the summability of power series. (Q563847)

Das Problem der \(C\)-Summierbarkeit von Potenzreihen und \textit{Fourier}\-reihen ist von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} in gewissem Sinne abschließend beantwortet worden (1924; F. d. M. 49, 232 (JFM 49.0232.*)). Für Potenzreihen lautete das ergebnis: Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß\^^M\(\sum a_n\) von irgend einer Ordnung \(C\)-summierbar sei, sind diese: \[ a_n=O(n^K) \quad \text{für ein}\quad K>0; \tag{1} \] \[ f_k (z)\to A \quad \text{für}\quad z\to 1 \quad \text{in} \quad | z| <1 \quad \text{und ein ganzes}\quad k\geqq 0. \tag{2} \] Dabei sol \[ f_0(z)=f(z)-\sum a_nz^n \quad \text{und} \quad f_k(z)=\frac {1}{1-z}\int \limits _{z}^{1}f_{k-1}(t)dt \] sein für \(k>0\). Strebt \(f_k(z)\to A\), so soll dafür \(``f(z)\to A(H_k)"\) geschrieben werden; analog soll \(``f(z)\to A(C_{\alpha })"\) bedeuten, daß \[ \frac {\alpha }{(1-z)^{\alpha }} \int \limits _{z}^{1} (u-z)^{\alpha -1}f(u)du \to A \] strebt \((\alpha >0)\), während \(``f(z)\to A(C_0)"\) die gewöhnliche Konvergenz Bedeutet. -Es gelten dann die beiden Sätze: 1) Für \(f(z)=\sum a_nz^n\) sei \(a_n=o(n^{\gamma }), \gamma >0\), und \(f(z)\to A(C_{\alpha })\) mit \(\alpha \geqq 0\) für \(z\to 1\) in \(| z| <1\). Dann ist \(\sum a_n\) \(C_{\beta }\)-summierbar zur Summe \(A\) für jedes \(\beta \), das \(>\alpha \) und \(\geqq \gamma \) ist. Und umgekehrt: 2) Ist \(\sum a_n\) \(C_{\alpha }\)-summierbar zur Summe \(A,\alpha \geqq -1\), so ist \(f(z)\) in \(| z| <1\) regulär und es strebt \(f(z)\to A(C_{\beta })\) für \(z\to 1\) in \(| z| \leqq 1\), falls \(\beta >\alpha +1\) ist.