Cesàro summability of double series. (Q563853)

Eine Doppelreihe \(\sum \limits _{i,j=1}^{\infty }u_{ij}\) heißt \((C;\alpha, \beta )\)-\textit{summierbar} Zur Summe \(S\), wenn \[ S_{mn}^{(\alpha,\beta )}=\dfrac {\underset {i,j=1} {\overset {m,n} {\sum }} \binom {m+\alpha -i}{\alpha }\binom {n+\beta -j}{\beta } u_{ij}} {\binom {m+\alpha -1}{\alpha }\binom {n+\beta -1}{\beta }} \to S \] strebt für \(m,n \to \infty \); sie heißt \((C;\alpha,\beta )\)-\textit{beschränkt}, wenn \(| S_{mn}^{(\alpha, \beta )}| <\) const für alle \(m,n\) gilt, und sie heißt \textit{schließlich} \((C;\alpha,\beta )\)-\textit{beschränkt}, wenn \(| S_{mn}^{(\alpha,\beta )}| <\) const für alle hinreichend großen \(m,n\) gilt. Die Verf. beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen der \(C\)- Summierbarkeit einer Doppelreihe und der ihrer Zeilen und Spalten. Sie zeigt im wesentlichen: (1) Es gibt eine Doppelreihe, die für jedes \(\alpha \to 0, \beta \to 0 \quad (C;\alpha,\beta )\)-summierbar und beschránkt ist, deren sämtliche Zeilen und Spalten beschränkte Teilsummen besitzen, und für die trotzdem bei keinem \(\gamma >-1\) eine Zeile oder Spalte \((C;\gamma )\)- summierbar ist. (2) Zu jedem Paar \(\alpha >-1, \beta >-1\) gibt es eine Doppelreihe, die \((C;\alpha \beta )\)-summierbar und -beschränkt ist, während a) keine Zeile für ein \(\delta >0 (C;\beta -\delta )\)-beschränkt ist, b) keine Zeile \((C,\beta )\)-summierbar, dagegen jede\((C;\beta )\) -beschränkt ist, c) jede Zeile für jedes \(\delta >0 \quad (C;\beta +\delta )\)-summierbar ist und die Spalten das entsprechende Verhalten aufweisen. (3) Ist eine Doppelreihe \((C;k,l)\)-summierbar für ganze positive \(k,l\), so ist jede Zeile von hinreichend hohem Index entweder a) \((C;l+\delta )\)-summierbar für jedes \(\delta >0\), oder b) für kein \(\gamma >-1 \quad (C;\gamma )\)-summierbar; das entsprechende Verhalten zeigen die Spalten.