Sur les vitesses nulles dans le problème des trois corps (Q563971)

Verf. untersucht das kannonische System der Bewegung für drei Körper \(P_0, P, P'\) von denen \(P_0\) als Bezugspunkt gewählt sei. Es ist \((i = 1, 2, 3)\) \[ \frac {dx_i}{dt} = \frac {\partial H}{\partial p_i},\quad \frac {dp_i}{dt} = -\frac {\partial H}{\partial x_i},\quad \frac {dx'_i}{dt} = \frac {\partial H}{\partial p'_i},\quad \frac {dp'_i}{dt} = -\frac {\partial H}{\partial x'_i},\quad \] und dabei \[ H = \frac {1}{\mu }\sum p^2_i + \frac {1}{\mu '}\sum {p'}^2_i + \frac {2}{\mu _0}\sum p_ip'_i - \frac {\alpha _1}{r_1} - \frac {\alpha _2}{r_2} - \frac {\alpha _3}{r_3} = E; \] \(p_i\) und \(p'_i\) sind die absoluten Geschwindigkeiten von \(P\) und \(P'\). Es werden, für reguläre Punkte \[ \begin{aligned} x_i - x^0_i &= t X_i(x^0_j, {x'}^0_j, {p'}^0_j | t),\\ x'_i - {x'}^0_i &= t X'_i(x^0_j, {x'}^0_j, {p'}^0_j | t),\\ p'_i - {p'}^0_i &= t P'_i(x^0_j, {x'}^0_j, {p'}^0_j | t).\end{aligned} \] Soll für einen gewissen Wert von \(t\) \[ p_i = 0 = t P_i(x^0_j, {x'}^0_j, {p'}^0_j | t) \] sein, so werden, wie man durch Elimination von \(x^0 \dots \) gegen \(x \dots \) leicht findet, zwei Bedingungen für die Anfangskonstanten benötigt. Deren Bestimmung wird ausgeführt; man hat dann \[ p_i = Ax_i + Bx'_i + Cp'_i. \] Einige weitere Sätze werden (zunächst ohne Beweise) angegeben, z. B. der folgende: Wenn im Dreikörperproblem in einer Ebene zwei Geschwindigkeiten für zwei verschiedene Zeitpunkte verschwinden, oder wenn eine der Geschwindigkeiten an zwei auf einander folgenden Zeitpunkten verschwindet, so bleibt die Bewegung regulär in der ganzen Ebene.