Sur la nature des chocs dans le problème des trois corps à trois degrés de liberté (Q563976)

Verf. betrachtet die kreisförmige Bewegung zweier Körper \(P_0\) und \(P\) im gegenseitigen Abstande \(a\) voneinander, und einen dritten Körper \(M\) der Masse null, dessen Bewegungsgleichungen in kanonischer Form \[ \frac {dx}{dt} = \frac {\partial F}{\partial p_x},\quad \frac {dp_x}{dt} = -\frac {\partial F}{\partial x} \] sind mit \[ F = \frac {1}{2}\left ( p^2_x + p^2_y + p^2_z\right ) - (xp_y - yp_x) - n[(x - \bar x_0)^2 + y^2] - \frac {m}{r} - \frac {n_0}{r_0}. \] Dei Substitution \(\frac {dt}{r} = du\) und die Transformation von \textit{T. Levi-Civita} (1920; F. d. M. 47, 837 (JFM 47.0837.*)), d. h. \[ x_i = \omega ^2\xi _i - 2\omega _i\sum \omega _i\xi _i,\quad p_i = \frac {\omega _i}{\omega ^2} \quad (i = 1, 2, 3) \] führt auf das gleichfalls kanonische System \[ \frac {d\omega _i}{du} = -\frac {\partial F'}{\partial \xi _i'},\quad \frac {d\xi _i}{du} = \frac {\partial F'}{\partial \omega _i'}, \] wo \[ F' = - m + \frac {1}{2}\xi - m_0\xi \omega _2 - \xi \omega ^2\left [(\xi _1\omega _2 - \xi _2\omega _1) + \frac {m_0}{r_0} + C\right ] \] mit \[ r^2_0 = 1 + \omega ^4\xi ^2 + 2(\omega ^2\xi _1 - 2\omega _1\sum \omega _i\xi _i). \] Das Problem der Darstellung im Punkte des Stoßes von \(M\) mit \(P\) wird durch zum Teil recht weitläufige Entwickelungen nach Potenzen der Hilfsgröße \(u\) behandelt. Dabei ergibt sich \[ \omega _3\xi _1 - \omega _1\xi _3 = zp_x - xp_z = Au^5 + Bu^6 + \cdots, \] d. h. ein Ausdruck fünfter Ordnung in \(u\). Wird \(u^5\) vernachlässigt, so folgt, daß\,die absolute Geschwindigkeit des kleinen Körpers und diejenige von \(P\) beim Stoß\,in derselben Ebene liegen. Eine weitere Diskussion der Fälle, wo auch niedrigere Potenzen von \(u\) vernachlässigt werden können, wird zum Schluß\,noch angeführt.