Three theorems applicable to vibration theory (Q563990)

Verf. beweist folgende Sätze: I. Die Periode \(T\) einer freien, durch eine rücktreibende Kraft \(f(x)\) bedingten Schwingung genügt der Ungleichung \[ 4 \cdot \sqrt {\frac {2a}{f(a)}} < T < 4 \cdot \sqrt {\frac {2a^2}{F(a)}} \;\text{ mit } \^^MF(a) = \int ^a_0f(x)\,dx, \] wenn \(a\) die Amplitude bezeichnet, \(f(x)\) für \(0 \leq x \leq D\) stetig und differenzierbar ist, für \(0 < x \leq D\) sowohl \(f(x)\) als auch \(f'(x)\) positiv sind, und wenn \(f(0) = 0\) und \[ f(x) = - f(-x) \] für \(-D \leq x \leq 0\) gilt. II. Notwendig und hinreichend dafür, daß\ \(T\) unabhängig von \(a\) ausfällt, ist \(f(x) = bx\) mit festem \(b > 0\), falls neben den zu I genannten Voraussetzungen noch \(f'(0) = b\) gefordert wird. III. Für \(a \to 0\) gilt \(T \to \frac {2\pi }{\sqrt b}\), falls neben den übrigen Voraussetzungen die Existenz von \(f''(+ 0)\) angenommen wird.