Zur Theorie der Schwingungen. II (Q563992)

Verf. behandelt die Randwertaufgabe für die Schwingungsgleichung \[ \ddot x(t) + \alpha ^2\sin x(t) = -\beta f(t)\quad (0 \leq t \leq \pi ),\tag{1} \] wobei \(f(t)\) die Periode \(2\pi \) hat, oder was dasselbe ist, die Integralgleichung \[ x(t) - \alpha ^2 \int ^{\pi }_0 G(t, \tau ) \sin x(\tau ) d\tau = \beta h(t).\tag{2} \] \(\left ( G(t, \tau ) \text{ \textit{Green}sche Funktion; } h(t) = \int \limits ^{\pi }_0 G(t, \tau ) f(\tau )\;d\tau \right )\) nach der Methode von \textit{E. Schmidt}. Danach kann Verzweigung einer Lösung \(x(t)\) bei Veränderung von \(\alpha \) und \(\beta \) nur eintreten, wenn die erste Randwertaufgabe in \(\varphi (t)\): \[ \ddot {\varphi } (t) + \alpha ^2 \cos x(t)\varphi (t) = 0\quad (0 \leq t \leq \pi )\tag{3} \] eine nicht identisch verschwindende Eigenfunktion \(\varphi \) besitzt. Verzweigung der zu \(\beta = 0\) gehörigen Lösung \(x(t) \equiv 0\) kann nur für \(\alpha ^2 = 1, 4, 9,\dots \) eintreten. Für \(\beta = 0\) existieren außer \(x \equiv 0\) für jedes \(\alpha \) noch \(2[\alpha ]\) reelle Lösungen. Ver. zeigt, daß\ die Aufgabe (3), wenn darin ein solches \(x(t)\) eingesetzt wird, nie lösbar ist, d. h. daß\ sich \(x(t)\) nicht verzweigen kann. Weiter kann man in der \((\alpha ^2, \beta )\)-Ebene eine Kurve \(\beta _0(\alpha ^2)\) derart angeben, daßfür \(|\beta | < \beta _0(\alpha ^2)\) bei dem betreffenden \(\alpha ^2\) genau eine Lösung \(x(t)\) von (2) existiert, die bei zu Null abnehmendem \(\beta \) in \(x \equiv 0\) übergeht. \(\beta _0(\alpha ^2)\) verschwindet nur an den Stellen \(\alpha ^2 = 1, 4, 9,\dots \). Ferner kann man Kurven \(\beta _{\nu }(\alpha ^2)\) finden, die bei \(\alpha ^2 = \nu ^2\) mit \(\beta _{\nu }(\nu ^2) = 0\) beginnen und mit wachsendem \(\alpha ^2\) stets von Null verschieden sind, derart, daß\ für \(|\beta | < \beta _{\nu }(\alpha ^2)\) genau je eine Lösung von (2) vorhanden ist, die bei abnehmendem \(\beta \) stetig in je eine der beiden in \(\alpha ^2 = \nu ^2\) entspringenden Lösungen von (2) übergeht. Die Umgebung der Verzweigungspunkte \(\alpha ^2 = \nu ^2, \beta = 0 (\nu = 1, 2, 3,\dots )\) kann durch Kurven in der \((\alpha ^2, \beta )\)-Ebene so zerlegt werden, daß\ in einem Teilgebiet genau eine, in einem andern genau drei Lösungen von (2) vorhanden sind, die in \(x \equiv 0\) übergehen. Sodann zeigt Verf., daß, wenn \(h(t)\) nicht zu \(\sin \nu t\) orthogonal ist, in einer gewissen Umgebung des Verzweigungspunktes \(\alpha ^2 = \nu ^2, \beta = 0\) in der \((\alpha ^2, \beta )\)-Ebene genau eine analytische Kurve verläuft, über der Doppellösungen von (2) liegen. Ist dagegen \(h(t)\) zu \(\sin \nu t\) orthogonal, so können verschiedene Kurven mehrfacher Lösungen vorkommen. Kriterien werden angegeben. Die Beweise werden im wesentlichen auf das Studium der \textit{Schmidt}schen Verzweigungsgleichung gestützt. Der Reihenansatz von \textit{E. Schmidt} liefert, daß\ in der Umgebung des Punktes \(\alpha ^2 = \nu ^2, \beta = 0\) jede Lösung mit const\(\cdot \sin \nu t\) beginnt. Mit \(\nu = 1\) führt dies auf den Ansatz von \textit{Duffing} (1918; F. d. M. 46, 1168 (JFM 46.1168.*)) und \textit{Hamel} (1922; F. d. M. 48, 519 (JFM 48.0519.*)). Endlich geht Verf. noch auf den Zusammenhang mit dem \textit{Ritz}schen Verfahren ein. (IV 7, 9.)