An extension of Lagrange's equations (Q564011)

Verf. behandelt den Fall von überzähligen Veränderlichen in den \textit{Lagrange}schen Gleichungen, der früher von \textit{Poincaré} und kürzlich von \textit{Andoyer} (1926-1928; F. d. M. 52, 1010 (JFM 52.1010.*)) in seiner Mondtheorie betrachtet worden ist. Ausgehend vom Ausdrucke der kinetischen Energie in \(n\) Koordinaten \(q_1,\dots, q_n,\) \[ 2T = a_{ij}q'_iq'_j\quad (a_{ij} = a_{ji}) \] und bei Einführung des Operationssymbols \[ D_{q_i} = \frac {d}{dt}\frac {\partial }{\partial q'_i} - \frac {\partial }{\partial q_i} \] schreiben sich die Bewegungsgleichungen als \[ D_{q_i}L = 0, \] wo \(T = \) Potential, \[ L = T + F(q_1,\dots, q_n). \] Setzt man \[ q_i = q_i(r_1,\dots, r_{n+1}), \] wo \(r_{n+1}\) eine überzählige Veränderliche sei, so geht \(L\) in eine neue Form \[ L' = L'(r_1,\dots, r_{n+1}; r'_1,\dots, r'_{n+1}) \] über, wo indessen zum Ermöglichen der Bestimmung von \(r_1,\dots, r_{n+1}\) eine (hier als linear vorausgesetzte) Bedingung \[ \alpha _sr'_s = 0\tag{1} \] benötigt wird \(\left (\alpha _s = \alpha _s(r_1,\dots, r_{n+1})\right )\). Verf. zeigt, daß\ jene Bedingung dieselbe sein muß, die aus \[ \frac {\partial L'}{\partial r'_{n+1}} = 0\tag{\(1'\)} \] hervorgeht, wodurch ein Ausweg zur Bildung zusätzlicher Veränderlichen gegeben ist. Es folgt eine geometrische Deutung der Sätze für den Fall von nur zwei ur\-sprüng\-li\-chen Veränderlichen \(q_1\) und \(q_2\). Ist \(G\) eine geodätische Linie, die die Bahn des Punktes in einem Punkte \(P\) berührt, so ist die dritte zusätzliche Veränderliche der Winkel zwischen \(G\) und einer festen Kurve \(\Gamma \), die durch \(G\) in einem Punkte \(N\) geschnitten wird. Ist ferner \(O\) ein fester Punkt in \(\Gamma \), so ist zu setzen \(r_1 = ON\), \(r_2 = NP\), \(r_3 =\) Winkel zwischen \(G\) und \(\Gamma \) als dritte Veränderliche. Dann ist die Bedingung für \(r_3\), daß \[ \left (\frac {\partial T'}{\partial r'_3}\right ) = 0. \] Etwas einfacher tritt dies zutage für eine ebene Bewegung. Dann ist \(\Gamma \) Schnitt der \((x, y)\)-Ebene bzw. größter Kreis auf der Sphäre, wo \(O\) die \(x\)-Achse markiert. \(N\) ist der Knoten, wo die Bahn die \((x, y)\)-Ebene unter dem Winkel \(\varphi \) (Neigung) schneidet. Der Bogen \(ON = z\) ist dann überzählige Koordinate, wozu die Polarkoordinaten \(\varrho = NP\) und \(\varphi \) des Punktes \(P\) hinzuzunehmen sind. Man hat dann (Gleichung (1)) \[ z'\sin \varphi - \varrho \varphi ' = 0. \] Zum Schluß\ wird der Fall von mehr als einer überzähligen Koordinate in Betracht gezogen. Dies geschieht durch geometrische Betrachtung wie oben. Man folgert, daß \[ \left (\frac {\partial T}{\partial r_s}\right ) = 0\quad (s = n + 1,\dots, n + \varrho ) \] die Bedingungen dafür sind, daß\ die \textit{Lagrange}schen Gleichungen für \(s = 1,\dots, n + \varrho \) erhalten werden.