On certain dynamical systems with points of Peano (Q564028)

Ein System von Bewegungen sei durch die Gleichungen \[ \frac {dx_i}{dt} = X_i(x)\quad (i = 1,\dots, n) \] definiert, wobei die \(X\) nur als stetig vorausgesetzt werden. Es können gewisse ``\textit{Peano}sche Punkte'' existieren, durch die zwei oder mehr Bewegungen hindurchgehen. Verf. zeigt jedoch, daß\ unter der Annahme, daß\ für abnehmendes \(t\) die Bewegung jedes Punktes eindeutig bestimmt ist, die asymptotischen und Rekurrenzeigenschaften der Bewegungen im wesentlichen in ganz derselben Weise untersucht werden können, wie sie von \textit{Birkhoff} für die engeren Systeme der gewöhnlichen Dynamik studiert worden sind (vlg. \textit{Birkhoff}, Dynamical systems, 1927; F. d. M. 53, 732 (JFM 53.0732.*); \textit{Birkhoff}, \textit{Smith}, 1928; F. d. M. 54, 604 (JFM 54.0604.*)). Insbesondere können die Zentralbewegungen \(M_r\) wie im gewöhnlichen Fall durch einen gewissen Grenzprozeß\ definiert werden. \(M_r\) besteht aus einer familie von vollständigen Bewegungen, aber im vorliegenden Fall ist \(M_r\) nicht notwendig invariant für wachsendes \(t\). Die Bewegungen auf einer Kugel werden etwas eingehender untersucht und es wird gezeigt, daß\ \(M_r\) hier aus der Gesamtheit \(m\) der Gleichgewichtspunkte und periodischen Bewegungen zusammen mit den Häufungspunkten von \(m\) besteht. Wenn \(P\) ein Punkt von \(M_r\) ist, so können durch \(P\) höchstens zwei Bewegungen von \(M_r\) gehen. Ferner sei \(C\) eine Bewegung, die einen Punkt enthält, durch den wenigstens eine von \(C\) verschiedene Bewegung geht; die zu \(M_r\) gehörigen Bewegungen dieses Typs bilden höchstens eine abzählbare Familie.