Une théorème sur la stabilité du mouvement (Q564034)

Das Differentialgleichungssystem für eine gestörte Bewegung laute: \[ \frac {dx_s}{dt} = \varphi _s(x_1, x_2,\dots, x_n, t)\quad (s = 1, 2,\dots, n). \] Es sei \(x_s(t_1) = \varepsilon _s\). Sind die Lösungsfunktionen \(x_s = f_s(t, t_1)\) so beschaffen, daß\ es zu jedem \(\delta > 0\) ein \(\varepsilon > 0\) so gibt, daß\ für alle \(t \geq t_1\): \[ x^2_1 + x^2_2 + \cdots + x^2_n \leq \delta, \] sobald \(\varepsilon ^2_1 + \varepsilon ^2_2 + \cdots + \varepsilon ^2_n \leq \varepsilon \), so heißt die Bewegung stabil. Hängt \(\varepsilon \) von einem gewissen \(t_0\) ab, nicht von \(t_1\), so heißt die ungestörte Bewegung gleichmäßig stabil. Gilt \(\lim \limits _{t \to \infty }x_s = 0\;(s = 1,\dots, n)\), soheißt die Bewegung asymptotisch stabil. Verf. gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, daß\ das System in erster Näherung gleichmäßig stabil ist.