Zur Statik eingespannter Rechteckplatten. (Q564157)

Die Gleichung für die Durchbiegung \(w\) einer Platte mit der Belastung \(p(x,y)\): \[ \Delta \Delta w=\frac 1N p(x,y) \] behandelt Verf. für eine rechteckige Platte, die mit zwei gegenüberliegenden Seiten frei aufliegt, mit den beiden anderen eingespannt ist. Als Vorbereitung berechnet er zunächst die den Randbedingungen genügende Lösung für den Sonderfall der Belastung \[ p(x,y) =e^{zx+\zeta y}, \] unter \(z\) und \(\zeta \) willkürliche Parameter verstanden, und greift von hier aus die eigentliche Aufgabe an, daß\ die Platte auf einem (wie die Platte selbst orientierten) Rechteck eine konstante Belastung trägt, während sie im übrigen unbelastet ist. Indem er diese Belastung durch das Integral des \textit{Dirichlets}chen diskontinuierlichen Faktors als Überlagerung von Einzelwellen der Form \(Ce^{zx+\zeta y}\) darstellt, erhält er aus dem erledigten Sonderfall die Lösung als eine Integraldarstellung, die dann unter Benutzung des Residuensatzes in eine \textit{Fouriers}che Doppelreihe umgesetzt wird. Sie enthält insbesondre die Lösungen der Spezialfälle, daß\ die ganze Platte belastet ist, daß\ die Belastung nur längs einer einem Seitenpaar parallelen Geraden stattfindet, und daß\ schließlich nur eine Einzellast vorhanden ist. Zum Schluß\ wird durch Überlagerung der gewonnenen Lösung mit einer geeigneten Lösung der Gleichung \(\Delta \Delta w=0\) der Fall, daß\ alle vier Seiten des Rechtecks eingespannt sind, auf die Auflösung zweier Systeme unendlich vieler Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten zurückgeführt.