Die Wirkung des Enddruckes auf die Biegungsschwingung eines Stabes mit inneren Dämpfung. (Q564203)

Die Differentialgleichung des Eigenschwingungsproblems eines mit der speziellen Achsialkraft \(\frac {T}{A}\) (\(T\) Kraft, \(A\) Querschnittsfläche) belasteten Stabes ist wie Verf. nachweist: \[ \varrho \frac {\partial ^2 y}{\partial t^2}+Ek^2\frac {\partial ^4 y}{\partial x^4} + \xi K^2\frac {\partial ^5 y}{\partial t \partial x^4} + \frac TA \frac {\partial ^2 y}{\partial x^2} -\varrho k^2 \frac {\partial ^4 y}{\partial t^2\partial x^2}=0, \] wobei \(y\) die Ausweichung der Mittellinie, \(t\) die Zeit, \(E\) der Elastizitätsmodul, \(\xi \) der Koeffizient der inneren Zähigkeit, \(\varrho \) die Dichte, \(k\) der Trägheitshalbmesser des Querschnittes ist. Die allgemeine Lösung wird angeschrieben und an die verschiedenen Randbedingungen (beiderseits freie Lagerung, beiderseits Volleinspannung, Einspannung an einem und freie Lagerung am anderen Ende) angepaßt. - Es zeigt sich ein enger Zusammenhang der Eigenschwingung mit der Knicklast: Die Schwingung wird aperiodisch bei einer bestimmten speziellen Belastung, die unterhalb der statischen Knicklast liegt; beispielsweise zeigt Ver., daß\ (unter Vernachlässigung des letzten Gliedes der Differentialgleichung, das der Drehungsträgheit entspricht) bei beiderseits frei aufliegendem Stabe die Schwingung aperiodisch wird, wenn \[ \frac {T}{A} = \frac {\pi ^2 E k^2}{l^2} - \frac {\pi ^6 \xi ^2 K^4}{4\varrho l^6}; \] das erste Glied ist die \textit{Eulers}che Knicklast, auf die Flächeneinheit bezogen.