Attrazione newtoniana dei tubi sottili e vortici filiformi. I, II. (Q564326)

I. Die Arbeit gibt eine zusammenfassende und erweiterte Darstellung früherer Untersuchungen des Verf. über das \textit{Newtons}che Potential und die Anziehungskräfte sehr dünner materieller Röhren und ihre Anwendung zur Bestimmung von Form und Bewegung eines beliebigen Wirbelfadens innerhalb einer sonst wirbelfreien Flüssigkeit. Das \textit{Newtons}che räumliche Potential eines materiellen geraden Fadens der Dichte \(\nu _0\) und der Länge \(l\) in der Ertfernung \(\varepsilon \) von einem seiner Endpunkte hat für \(\varepsilon \rightarrow 0\) den asymptotischen Ausdruck \(\nu _0 \log \frac {l}{\varepsilon }\); derselbe Ausdruck gilt für einen krummen Faden bei nicht tangentialer Annäherung und sein Doppeltes bei Annäherung an einen inneren Fadenpunkt. Damit erhält man für eine dünne Röhre der Leitkurve \(C\) der linearen Dichte \(\nu \) die Möglichkeit der Bestimmung des Selbstpotentials, dessen asymptotischer Ausdruck für verschwindende Röhrendicke \[ \int \limits _C k(s)\cdot \nu ^2(s)\cdot ds \] wird; hierbei ist \(k\) ein gestaltlicher Parameter, der nur von der Form des normalen Röhrenquerschnitts an der Stelle \(s\) abhängt. Daraus gewinnt man die auf jeden Punkt der Röhre von dieser selbst ausgeübten Anziehungskräfte. Die Anwendung dieser Ergebnisse erfolgt auf einen Wirbelfaden der Wirbelintensität \(p\) innerhalb einer wirbelfreien Flüssigkeit; ein solcher Faden bewegt sich wie ein unausdehnbarer materieller Faden, und der Geschwindigkeitsvektor eines seiner Punkte \(P\) ist \[ \mathfrak {v}_P=\sigma kc\cdot \mathfrak {B}, \] worin \(\mathfrak {B}\) den Binormalvektor, \(c(s)\) die Krümmung des Fadens bezeichnen. II. Hier werden nun die Bewegungsgleichungen eines Wirbelfadens in invarianter Form durch Beziehung auf sein begleitendes Dreikant gewonnen. Ist noch \(\gamma (s)\) seine Windung, und setzt man \(s_1 = \sigma \cdot t\), so lauten sie \[ \frac {\partial c}{\partial s_1}=\frac {\partial }{\partial s}(kc\gamma )+ \gamma \frac {\partial }{\partial s}(kc), \^^M\frac {\partial \gamma }{\partial s_1}=\frac {\partial }{\partial s}\left (k\gamma ^2-\frac 1c \frac {\partial ^2}{\partial s^2}(kc)\right )- c \frac {\partial }{\partial s}(kc). \] Es folgt, daß\ die Form des Fadens für \(t > 0\) eindeutig bestimmt ist, sobald man sie für \(t=0\) kennt. Nun untersucht Verf. die starr-beweglichen Wirbelfäden, für die \(c,\gamma \) von \(s_1\) unabhängig sind; spezialisiert man sich weiter auf Fäden gleichmäßiger Form, für die \(k(s) = \text{const}\) ist, so lassen sich die starren Fäden mittels elleptischer Funktionen ausdrücken; Spezialfälle sind die Schraubenlinien, die Kreise und weitere ebene Kurven, von denen eine schleifenförmige, die ähnlich aussieht wie eine Strophoide, besondere Erwähnung verdient. Die Kreise unterliegen in der Flüssigkeit einer reinen Translation, hingegen bewegen sich die schraubenförmigen Wirbelfäden schraubenförmig um ihre Achse. Um die Stabilität der kreisförmigen Fäden zu untersuchen, stellt Verf. nun die Gleichungen für die kleinen Schwingungen eines solchen Fadens auf, bestimmt deren Perioden und zeigt an ihrer Amplitude die tatsächliche Stabilität auf.