Quelques solutions exactes des équations d'hydrodynamique du fluide visqueux dans le cas d'un tube cylindrique. (Q564406)

Die Strömung einer inkompressiblen zähen Flüssigkeit innerhalb eines (auf Zylinderkoordinaten bezogenen) Kreiszylinders regelt sich, falls sie permanent ist und keine äußeren Kräfte wirken, nach dem \textit{Poiseuilles}chen Gesetz. Verf. untersucht eine dieser ähnliche Strömung, die zwar von der Zeit \(t\) abhängt, für die aber auch die radiale Geschwindigkeitskomponente verschwindet, und die zur Achse symmetrisch ist; ist dann \(\sigma \) die Dichte, \(\mu \) die Zähigkeit, \(E\) das Potential der äußeren Kräfte, so gilt \[ q = \frac {p}{\mu } - \frac {\sigma }{\mu } \cdot E = z\cdot f(t) + \varphi (t), \] und die Geschwindigkeitskomponente \(v_2 = v\) hängt nur von \(r,t\) durch die Gleichung \[ \frac {\partial ^2 v}{\partial r^2} + \frac {1}{r} \frac {\partial v}{\partial r} - v \frac {\partial v}{\partial t} = f(t) \] ab. Eine reguläre Lösung setzt \(f(0) = 0\) voraus. Es handelt sich nach gehöriger Variablentransformationum die Auffindung einer im Gebiete \(0 \leqq x \leqq 1, y \geqq 0\) regulären Lösung der Gleichung \[ \frac {\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac {1}{x} \frac {\partial u}{\partial x} - \frac {\partial u}{\partial y} = F (y), \] für die: \[ \begin{aligned} u & = 0 \text{ für } x = 1,\;y \geqq 0 \text{ und } y = 0, \;0 \leqq x \leqq 1,\\ \frac {\partial u}{\partial x}& = 0 \,, \;\;x = 0, \;y \geqq 0. \end{aligned} \] Dieses \(u\) wird durch Entwicklung nach \textit{Bessels}chen Funktionen explizit erst in den Fällen \( F = 0,\;F = \text{const},\;F(y) = \cos ky - 1,\;F(y) = -\sin ky\), und dann für jede periodische Funktion \(F(y)\) in \textit{Fourier}reihe sowie für jede als \textit{Fouriers}ches Integral darstellbare Funktion hergestellt. Zu periodischem \(F(y)\) gehört nicht ein periodisches \(u\), vielmehr zeigt \(u\) erst für \(y \rightarrow \infty \) asymptotisch periodischen Charakter. In jedem dieser Fälle nimmt die Strömung mit \(t \rightarrow \infty \) den Charakter der \textit{Poiseuille}-Strömung an, und zwar ist diese Konvergenz von \(v\) und den ersten Ableitungen gegen ihre Grenzwerte in \(r\) gleichmäßig.