Relativistic precession of periodic orbits in central force fields. (Q564648)

Verf. behandelt ene Partikel von der Ruhmasse \(m\) im Zentralfeld vom Potential \(V(r)\), bezogen auf Polarkoodrinaten \(r\) und \(\theta \). Ist \(E\) die Energiekonstante, so besteht die relativistische \textit{Hamilton-Jacobi}sche Gleichung: \[ \left ( \frac {\partial S}{\partial r} \right )^2 + \frac {1}{r^2} \left ( \frac {\partial S}{\partial \theta } \right )^2 = 2m (E-V)+\frac {1}{c^2} (E-V)^2 \] und die zugehörige Bahngleichung: \[ \beta = \frac {\theta }{2\sqrt {\alpha } } - \frac {1}{2} \int \frac {dr}{r\sqrt {\Phi (r)} }, \Phi (r)=2mr^2 (E-V)+\frac {r^2}{c^2} (E-V)^2 - \alpha \] (\(\alpha, beta\) willkürliche Konstante). Aus der Integraldarstellung \[ \theta = \int \limits _{u_1}^{u_2} \frac {-\sqrt {\alpha } du}{\sqrt {\psi (u)} }, \psi (u)=2m(E-W)+\frac {1}{c^2} (E-W)^2 - \alpha u^2, V(r) = W (u) \left ( u=\frac {1}{r} \right ) \] wird \(\theta \) näherungsweise berechnet, desgleichen die Bahnkurve näherungsweise in der Form: \[ u=\frac {1}{r} = a + A \cos (w \theta - \varepsilon ) \quad (A, \varepsilon \quad \text{willkürliche Konstanten}). \] Aus \(\Theta \omega = \pi \) und dem bekannten \textit{Newton}schen Wert \(\Theta _1\) für den ``aspidal angle'' ergibt sich die Beziehung: \[ \Theta = \frac {\Theta _1}{\gamma }, \gamma = 1-\frac {v^2}{c^2 \lambda ^2}, \quad \lambda ^2 = 1 - a\frac {W''}{W'}. \] Für geschlossene \textit{Newton}sche Bahnkurven gilt: \[ m \Theta _1 = n \pi ; \] im relativistischen Fall erhält \(\theta \) den Zuwachs \(2m \Theta \), worin die Perihelpräzession zum Ausdruck fommt. Als besondere Abwendungen untersucht Verf. die Fälle: \[ (a) \quad V=-\frac {\mu }{r} \quad \text{\textit{Kepler}ellipse,} \qquad (b) V=\frac {\mu r^2}{2} \quad \text{(Zentralellipse).} \] Fall (b) gestattet eine direkte Behandlung der \textit{Hamilton-Jacobi}schen Gleichung. Die Integration wird mit Hilfe der \textit{Weistraß}schen \(\wp \)-Funktion vollständig durchgeführt.