Die Ausdehnung der Welt in ihrer Abhängigkeit von der Zeit. (Q564659)

Für das Linienelement: \[ ds^2=-R^2 d \sigma ^2 + dt^2, \quad d\sigma ^2 = \lambda _{ik} dx^i dx^k \quad (i, k = 1, 2, 3) \] hatte Verf. in einer vorhergehenden Arbeit (1931; F. d. M. 57 I, 1187) die Differentialgleichung \[ \dot {R}^2 = \frac {\lambda }{3} R^2 + C + \frac {\varkappa }{3R^2} (B + A \sqrt {R^2 + \alpha ^2} ) \leqno (1) \] gewonnen. Innerhalb der Relativitätstheorie erhält man für \(R=R(t)\) neun wesentlich verschiedene Lösungstypen diseer Differentialgleichung, welche der Kombination der Möglichkeiten für die kosmologische Konstante \((\lambda \gtreqqless 0)\) mit denen für die \(C\) (\(C=\begin{cases} +1\\0\\-1\end{cases} \) hyperbolische, euklidische, sphärische Metrik) entsprechen. Bringht man die Differentialgleichung (1) auf die Form: \[ \left ( \frac {dz}{d\tau } \right )^2 = \varepsilon z^2 + C + \frac {1}{z^2} M(z) \leqno (2) \] (\(z\) proportional \(R\), \(\tau \) proportional \(t\), \(\varepsilon = \begin{cases} +1 \\ 0, \\ -1 \end{cases} \), \(M(z)\) ``Einfluß der Materie''), so erscheint zunächst die Diskussion für sehr große und sehr kleine Werte von \(z\) von Interesse. Dabei entspricht \(\varepsilon = +1, C=-1\) insbesondere \textit{de Sitters} Welt, in welcher stets \(z\neq 0\). Sodann betrachtet Verf. die Fälle: \[ \begin{matrix} \r & \quad \l & \quad \l &\;\,\l & \quad \l & \;\,\l & \quad \l & \;\, \l \\ \text I& \varepsilon = +1, &1) &C=+1, &2) &C=0, &3) &C=-1,\\ \text {II} &\varepsilon = 0, &1) &C=+1, &2) &C=0, &3) &C=-1,\\ \text {III} &\varepsilon = -1, &1) &C=+1, &2) &C=0, &3) &C=-1. \end{matrix} \] Unter ihnen erscheint I 3) als reichhaltigster; für \(M=0\) liefert er das \textit{de Sitter}sche Universum. Alle auftretenden Fälle behandelt Verf. überdies graphisch im \((z, \tau )\)-Diagramm. Indes liefern weder die Beobachtungen noch die Relativitätstheorie Gesichtspunkte, nach welchen man unter der Mannigfaltigkeit der Lösungen eine eindeutige Auswahl treffen könnte. Zur Unbestimmtheit von \(\lambda \) gesellt sich die von \(C\). Wählt man \(\lambda = 0\), so besteht notwendig hyperbolische bzw. sphärische Metrik je nach dem \( \varrho \lessgtr \frac {3}{\varkappa } \left ( \frac {\dot {R}}{R} \right )^2\). Doch ist die Schätzung der Materiedichte im Universum naturgemäß sehr vage. Für: \[ 10^{-28} > \varrho > 10^{-30} \] wäre auf diese Weise hyperbolische Metrik garantiert. \textit{R. C. Tolman} bevorzugt bogenförmige Lösungen (On the theoretical requirements for a periodic behaviour of the universe. Physical Review (2) 38 (1931), 1758-1771), um ein ``quasiperiodisches'' Verhalten der Welt zu gewinnen. In dieser Hinsicht verdienen die Fälle II 3), III 2), III 3) eine Vorzugsstellung, weil sie ein völlig leeres Universum ausschließen. Dagegen schließt I 3) ein katastrophales Verhalten der Welt in Vergangenheit und Zukunft aus.