Solution with axial symmetry of Einstein's equation of teleparallelism. (Q564694)

Es handelt sich um die Feldgleichungen: \[ G^{\mu \nu } = g^{\mu \alpha } g^{\beta \gamma } ( \Lambda ^\nu _{\alpha \beta ; \gamma } - \Lambda ^\delta _{\alpha \beta } \Lambda ^\nu _{\delta \gamma }) = 0, \quad F_{\mu \nu } = \frac {\partial \Phi _\mu }{\partial x^\nu } - \frac {\partial \Phi _\nu }{\partial x^\mu } = 0, \] wobei \[ \Delta ^\lambda _{\mu \nu } = \Delta ^\lambda _{\mu \nu } - \Delta ^\lambda _{\nu \mu }, \quad g^{\mu \nu } {}^s h_\mu {}^t h_\nu = e_s \delta ^s_t, \quad e_1=e_2=e_3=-1, \quad e_4=1, \Phi _\mu = \Lambda ^\alpha _{\mu \alpha }. \] Die Bedingung des Fernp[arallelismus ist durch: \[ \frac {\partial _s h^\lambda }{\partial x^\nu } + {}_s h^\mu \Delta ^\lambda _{\mu \nu } = 0 \] gegeben (vgl. \textit{A. Einstein}, 1930; F. d. M. 56 I, 735). Als axialsymmetrische Lösung gewinnt Verf. das \(h_\nu \)-feld: \[ {}^1 h_1=1, \quad {}^2 h_2={}^3h_3=\frac {1}{1+\beta x^1}, \quad {}^4h_4=\frac {1}{1+\alpha x^1} \quad (\alpha, \beta \text{~passende Konstante}); \] alle übrigen \(h\)-Komponenten verschwinden. Damit ergibt sich die Metrik: \[ ds^2 = -(dx^1)^2 - \frac {(dx^2)^2 + (dx^3)^2}{(1+\beta x^1)^2} + \frac {(dx^4)^2}{(1+\alpha x^1)^2}, \] worin di Theorie des Gravitationsfeldes mit zusätzlichem konstantem elektrischem Feld von der Stärke \(- \frac {\alpha }{2\sqrt {\pi }}\) als Spezialfall \((2\beta = k, 2 \alpha = -k)\) in erster Approximation enthalten ist (theorie von 1916). Aus dem \textit{Einstein}schen Näherungsansatz \[ {}^sh_\mu = \delta ^s_\mu + h_{s\mu } \] hatte \textit{McVittie} notwendig identisches Verschwinden der elektrischen Feldstärke abgeleitet (vgl. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 2 (1930), 140). Dies ist indessen eine Konsezuenz der an sich willkürlichen Einschränkung \({}_xh^\mu = \delta ^\mu _s\) im Ursprung.