Zur Begründung der Wentzel-Brillouinschen Eigenwertberechnung. (Q564722)

Verf. macht kritische Bemerkungen zu der \textit{Wentzel-Brillouins}chen Eigenwertberechnung (\textit{G.Wenzel} 1926; F.d.M. 52, 969; \textit{L.Brillouin} 1926; F.d.M. 52, 967). \textit{Wentzel} führt die \textit{Schrödinger}-Gleichung \[ \psi '' + \frac {4\pi ^2}{h^2} p^2\psi = 0,\;p = \sqrt {2m(E-\nu (x))}, \tag{1} \] durch die Substitution \[ \psi = \exp \frac {2\pi i}{h} \int _a^\nu ydx \tag{2} \] auf die \textit{Riccatis}che Differentialgleichung \[ \frac {h}{2\pi i} y' = p^2 - y^2 \tag{3} \] zurück. Es ist dann \[ y = \frac {h}{2\pi i}\frac {\psi '}{\psi }. \tag{4} \] Für \(h = 0\) bekommt man die \textit{Hamiltons}che Differentialgleichung der klassichen Mechanik: \[ \left (\frac {dS}{dx}\right )^2 = y_0^2 = p^2. \] Als Lösung von (3) wird dann angesetzt: \[ y = \sum _{\nu =0}^{\infty } \left (\frac {h}{2\pi i}\right )^\nu \cdot y_\nu, \tag{5} \] wobei sich die \(y_\nu \) aus Rekursionsformeln berechnen. \textit{Wentzel} wandte diese Methode auf stehende reelle Eigenschwingungen von (1) an. Aus (4) schloß er, daß \(y\) in den Nullstellen von \(\psi \) Pole erster Ordnung vom Residuum \(2\pi i\) hat. Mit Anwendung des \textit{Cauchys}chen Satzes folgt dann: \[ \oint ydx = k\cdot h \quad (k = \text{ganze Zahl}), \tag{6} \] wobei der Integrationsweg alle Nullstellen von \(\psi \) umschließen muß. (6) sollte sowohl die älteren Quantenbedingungen verstehen lassen \((y = y_0)\), als auch gleichzeitig diese verallgemeinern. Verf. bemerkt nun, daß im klassichen Bereich die Reihe (5) nicht die für den Ansatz (2) gewünschte Funktion \(y\) darstellt, und daß zweitens in der Bedingung (6) noch nicht die die Eigenfunktionen von (1) charakterisierenden Randbedingungen enthalten sind. Gleichung (6) läßt sich aber, wie Verf. zeigt, einer Randbedingung äquivalent setzen, wenn man den Ansatz (2) und (3) nicht auf die Eigenfunktionen, sondern auf eine laufende Welle gleicher Frequenz bezieht, und wenn man in (6) nur mit der Reihe (5) eingeht.