A special conformally euclidean space of three dimensions occuring in wave mechanics. (Q564762)

Verf. knüpft an eine Berechnung der Energie des Heliums im Grundzustand von \textit{E.A. Hylleraas} an, in welcher die Wellengleichung des Heliumatoms als Extremalengleichung eines Variationsproblems eingehend diskutiert wird (vgl. \textit{E.A.Hylleraas}, Z.f.Physik 54(1929), 347-366; f.d.M.\(55_{\text{I}}\), 538). Der Integrand dieses Variationsproblems läßt sich (bis auf einen Faktor) auf die Gestalt \[ \left (\frac {\partial \psi }{\partial u_1}\right )^2 + \left (\frac {\partial \psi }{\partial u_2}\right )^2 + \frac {\text{ch}^2 u_1 - \cos ^2 u_2}{\text{ch}^2 u_1 + \cos ^2 u_2} \left (\frac {\partial \psi }{\partial u_3}\right )^2 \equiv g^{ij} \frac {\partial \psi \partial \psi }{\partial u_i \partial u_j} \] bringen, welcher die ternäre quadratische ``Fundamentalform'' \[ ds^2 = du^2_l + du^2_2 + \frac {(\text{ch}^2u_1 + \cos ^2 u_2)^2}{\text{ch}^2u_1 - \cos ^2 u_2} du^2_3 \] entspricht. Nunmehr wird gezeigt: Die so gewonnene Metrik ist konformeuklidisch, d.h. si läßt sich in die Form \[ ds^2 = e^{-2\sigma } (dx^2_l + dx^2_2 + dx^2_3) \] transformieren. Dabei genügt die Funktion \(\sigma \) einem System von sechs partiellen Differentialgleichungen, welche Verf. weiterhin untersucht.