Ein neuer beweis des Euler-Maclaurinschen Theorems. (Q565382)

Es sei \[ b(x,u)=\frac {1}{2}| x-u| - \frac {(x-a)(b-u)+(u-a)(b-x)}{2(b-a)} \] mit \(a\leqq x\leqq b, a\leqq u\leqq b\). Schreibt man die Operation \[ \varPhi (x) = \int \limits _{a}^{b} b(x,u)\varphi (u)du \] abgekürzt \(\varPhi =D\varphi \), so besitzt die durch dieses Symbol gekennzeichnete Funktion \(\varPhi (x)\) in \((a,b)\) die zweite Ableitung \(\varphi (x)\) und verschwindende Randwerte. Wendet man, von \(\varphi _{1}(x)\) ausgehend, die Operation \(D\) mehrfach hintereinander an, so erhält man eine Funktionenfolge \(\varphi _{1}(x), \varphi _{2}(x), \cdots,\) die im Spezialfalle \(\varphi _{1}(x)=x-\dfrac {a+b}2\) mit der Folge der zu \((a,b)\) gehörigen \textit{Bernoulli}schen Polynome ungerader Ordnung indentisch ist. Bei gegebener Funktion \(f(x)\) erhält man die Rekursionsformel \[ I_{n+1} = \int \limits _{a}^{b}\varphi _{n+1}(u)f^{(2n+2)}(u)du= -c_{2n}\{ f^{(2n)}(b) - f^{(2n)}(a)\}+I_{n}, \] die durch die Spezialisierung \(f(x)=e^{\lambda (x-a)}\) zu der (allgemeinen) \textit{Euler-Maclaurins}\-chen Entwicklung führt. Ist schließlich \(f^{(2n+2)}(x)\) in \((a,b)\) monoton, so ist das Restglied \(R_{2n+2}\) der abgebrochenen Entwicklung ein positiver Bruchteil des doppelten an derselben Stelle stehenden Reihengliedes der fortgesetzten Entwicklung.