A class of functions continuous but not absolutely continuous. (Q565403)

In Verallgemeinerung einer Untersuchung von \textit{Hille-Tamarkin}\linebreak (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 142) konstruiert Verf. auf dem abgeschlossenen Intervall \(<0, 1>\) die folgende Menge \(P\): Mit Hilfe der natürlichen Zahl \(\alpha >2\) als Grundzahl, für die ohne Beschränkung der Allgemeinheit \(\alpha -1=q(\beta -1)\) mit \(q\geqq 2, \beta \geqq 2\) angesetzt wird, wird jede Zahl \(x\in <0, 1>\) in eine Stammbruchreihe entwickelt: \[ x=\frac {a_1}{\alpha } + \cdots + \frac {a_n}{\alpha ^n} +\cdots \qquad (0\leqq a_{\nu } <\alpha ). \tag{1} \] Unter \(P\) versteht Verf. die Menge derjenigen \(x\), für die in (1) alle Ziffern \(a_{\nu }\) durch \(q\) teilbar sind, unter \(P^0,P^{+},P^{-}\) die Menge aller \(x\in P\), für die unendlich viele Ziffern von 0 und \(\alpha -1\) verschieden sind, bzw. aller \(x\in P\), für die nur endlich viele Ziffern von 0, bzw. aller \(x\in P\), für die nur endlich viele Ziffern von \(\alpha -1\) verschieden sind. Auf \(P\) wird die Funktion \(\omega (x)\) durch folgende Vorschrift erklärt: \[ \omega (x)=\frac {b_1}{\beta }+\cdots +\frac {b_n}{\beta ^n}+\cdots,\quad \text{wenn alle} \quad a_{\nu }\equiv O(q)\quad \text{und} \quad a_{\nu }=qb_{\nu }; \] \[ \omega (x)=\frac {b_1}{\beta }+\cdots +\frac {b_{n-1}}{\beta ^{n-1}} +\frac {b_n}{\beta ^n}, \quad \text{wenn} \tag{2} \] \[ a_{\nu }\equiv O(q), a_{\nu }=qb_{\nu } \quad (\nu =1,\cdots,n-1); \quad a_{n}\neq O(q), b_n=\left [ \frac {a_n}{q}\right ] +1. \] Für \(\alpha =3, \beta =2\) ergibt sich die bekannte \textit{Cantor}sche perfekte, nirgends dichte Punktmenge abnehmend mit \(\omega (0)=0, \omega (1)=1\) und genügt der Funktionalgleichung \[ \omega (x)+\omega (1-x)=1; \tag{3} \] \(\omega (x)\) ist auf \(<0, 1>\) stetig, aber nicht totalstetig und einer \textit{Lipschitz}-Bedingung der Ordnung \[ \mu =\frac {\log \beta }{\log \alpha }, \quad \beta =\alpha ^{\mu } \] und dem Koeffizienten \(\leqq \beta (q-1)^{-\mu }\), und dieses Ergebnis ist das bestmögliche. \(\omega (x)\) hat auf allen Punkten von \(<0, 1>\), die \(\notin P\), die Derivierte Null. Auf \(P^{+}\) ist \(D^{+}\omega (x)=+\infty \), \(D^{-}\omega (x)=0\); auf \(P^{-}\) ist \(D^{+}\omega (x)=0, D^{-}\omega (x)=+\infty \). Dabei bedeuten \(D^{\pm }\) in der üblichen Bezeichnungsweise die vordere bzw. hintere Derivierte.