Remarque sur les suites infinies de fonctions. (Q565414)

Veranlaßt durch eine Frage von \textit{Saks}, konstruiert \textit{Sierpiński} -mit Benutzung der Kontinuumhypothese -eine Folge von Funktionen \(\{ f_n(x)\}\), von denen jede Teilfolge höchstens in einer abzählbaren Punktmenge konvergiert. Und zwar sind diese Funktionen \(f_n(x)\) nicht-meßbar. Dagegen beweist \textit{Mazurkiewicz}, daß\ derartiges für meßbare Funktionen \(\{ f_n(x)\}\) nicht möglich ist. Wegen eines \textit{Lusin}schen Satzes genügt es, dies für stetige Funktionen zu zeigen. Zu diesem Zweck beweist er den Satz: Auf einer perfekten Punktmenge \(P\) sei \(\{ f_n(x)\}\) eine gleichmäßig beschränkte Folge stetiger Funktionen; dann existiert eine Indexfolge \(\{ n_k\}\) und eine perfekte Teilmenge \(Q\) von \(P\), so daß\ die Funktionen \(f_{n_k}(x)\) auf \(Q\) gleichgradig stetig sind. - Daraus ergibt sich dann, daß\ eine Teilfolge dieser \(\{ f_n(x)\}\) auf einer perfekten Teilmenge von \(P\) sogar gleichmäßig konvergiert.