Beträge zur Maßtheorie. (Q565427)

Es werden Maßfunktionen \(\mu (M)\) behandelt, die für alle \textit{Suslin}schen Mengen eines \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes definiert sind und die Bedingungen erfüllen: I. Wenn \(M\) in der Summe von höchstens abzählbar vielen Summanden \(M_n\) enthhalten ist, gilt \(\mu (M)\leqq \sum \mu (M_n)\). II. Wenn umgekehrt die Summe von höchstens abzählbar vielen \(M_n\) in \(M\) enthalten ist und die \(M_n\) paarweise fremd sind, gilt \(\sum \mu (M_n)\leqq \mu (M)\). III. Wenn \(M'\) ein dehnungsloses Bild von \(M\) ist, d. h. wenn es eine Abbildung von \(M\) auf \(M'\) gibt, bei der die Entfernung von je zwei Punkten von \(M\) mindestens gleich der Entfernung der Bildpunkte ist, so ist \(\mu (M')\leqq \mu (m)\). IV. Für eine bestimmte Menge \(E\) ist \(\mu (E)=1\). Wird für \(E\) der \(k\)-dimensionale \((k\leqq n)\) Einheitswürfel gewählt, so hendelt es sich um ein \(k\)-dimensionales Maß\ \(\mu ^k (M)\) im \(n\)- dimensionalen Raum. Für jedes \(k<n\) gibt es dann zwei spezielle Maßfunktionen \(\underline {\mu }^k(M)\) und \(\overline {\mu }^k(M)\) derart, daß\ für jede \(k\)-dimensionale Maßfunktion \(\mu ^k(M)\) für jede \textit{Suslin}sche Menge \[ \underline {\mu }^k(M)\leqq \mu ^k(M)\leqq \overline {\mu }^k(M) \] gilt. Ist \(i<k\), so folgt aus \(\underline {\mu }^k(M)>0\), daß\^^M\(\underline {\mu }^i(M)=+\infty \) ist, und aus \(\overline {\mu }^k(M)>0\), daß\ \(\overline {\mu }^i(M)=+\infty \) ist. Es ist \(\underline {\mu }^1(M)= \overline {\mu }^1(M)\), wenn \(M\) ein Kontinuum ist; im Falle eines einfachen \textit{Jordan}bogens ergibt sich dessen Länge. Die Maßtheorie kann auf beliebige metrische Räume ausgedehnt werden. Die Gleichung \(\underline {\mu }^k(M)=\overline {\mu }^k(M)\) gilt ferner für jede \(n\)-dimensionale Menge \(M\), die dehnungsloses Bild einer \(k\)- dimensionalen \textit{Suslin}schen Menge ist (Eindeutigkeits\-satz). Ist \(M\) eine abgeschlossene beschränkte Menge und \(M'=\varphi (M)\) eine stetige Abbildung von \(M\), so gibt es in \(M\) eine \textit{Suslin}sche Menge \(M_1\), so daß\ \(\varphi (M_1)=M'\) und diese Abbildung eineindeutig ist (Uniformisierungssatz).