Allgemeine Maßtheorie und Lebegsquesche Integration. (Q565428)

Statt der Gesamtheit aller Intervalle werden hier nur abzählbar viele von ihnen zugrunde gelegt, die sämtlich halboffen sind und die ``Grundmengen'' (abgekürz: G. -M. ) genannt werden. Im linearen Fall soll dabei einem halboffenen Intervall stets der linke, nicht aber der rechte Ednpunkt angehören; und die G. -M. werden dann aus einem festen halboffenen Intervall durch fortgesetzte Zweiteilung in halboffenen Intervalle gewonnen, wobei jede G. -M. -Schachtelung höchstens einen Punkt gemeinsam haben soll. Von diesen G. -M. ausgehend wird nun folgendermaßen eine nicht-negative Mengenfunktion (vom Verf. ``\textit{Maßfunktion}'' genannt) eingeführt: I. Jeder G. -M. \(E\) ist eindeutig eine Zahl \(| E| \geqq 0\) zugeordnet, die das Maß\ von \(E\) heißt. Sind \(E^{(1)}\) und \(E^{(2)}\) die beiden G. -M., in die \(E\) zerfält, so gilt \(| E| =| E^{(1)}| +| E^{(2)}| \). II. Die Maße der G. -M. einer Schachtelung ohne gemeinsamen Punkt streben gegen Null. -Die Vereinigungsmenge von abzählbar vielen G. -M. wird vom Verf. als ``\textit{fast offene}'' (abgekürzt: f. o. ) Menge bezeichnet. Jede f. o. Menge \(O\) läßt sich eindeutig als Summe von größten, paarweise fremden G. -M. \(E_{\nu }\) darstellen. Dann wird definiert: \(| O| =\sum | E_{\nu }| \); und es erweist sich \(| O| \) als unabhängig von der eben benutzten Zerlegung in paarweise fremde G. -M. Mittels dieser f. o. Mengen wird dann in bekannten Weise für beliebige Mengen das äußere Maß\ (als untere Grenze der Maße aller überdeckenden f. o. Mengen), das innere Maß\ und der Meßbarkeitsbegriff definiert. Die sich damit ergebende allgemeine Maßtheorie (für die auch eine Charakterisierung durch Axiome beigefügt wird) ist unabhängig von dem benutzten Gerüst der G. -M. Die \textit{Lebesgue}sche Maßtheorie ist ein metrischer Spezialfall, der entsteht, wenn man den G. -M. ihre ``natürlichen'' Längen zuordnet. Unter Zugrundelegung einer beliebigen Maßfunktion kann man nun eine Theorie der \textit{Lebesgue-Stieltjes}schen Integrale durchführen, einschließlich des \textit{Lebesgue}schen Hauptsatzes, daß\ jede vollstetige additive Mengenfunktion als bestimmtes Integral darstellbar ist, bzw. des Satzes, daß\ jede Maßfunktion nach jeder anderen überall differenzierbar ist, mit Ausnahme höchstens einer Menge von Maße Null (in dem Maßsystem, nach dem differenziert wird). Dabei genügt es, diesen Satz für eine spezielle Art von Differentiationen, nämlich nach den G. -M., nachzuweisen; hieraus folgt dann nämlich (und zwar ohne \textit{Vitali}schen Überdeckungssatz) die allgemeine Differentiation. Diese letzte Schlußweise läßt sich nicht unmittelbar auf mehr Dimensionen übertragen, während sich alle anderen Überlegungen sofort auf mehr Dimensionen ausdehnen lassen, sofern oben die Forderung II geeignet modifiziert wird.