Sur la mesurabilité verticale des fonctions de variables réelles. (Q565433)

Die Bezeichnungen sind die der vortstehend besprochenen Note: Vertikalmenge von \(f(P)\) in einem Punkte \(P\) ist die Menge der Werte \(f(P)\) auf der Zahlengeraden oder der \(f\)-Asche. \(V_a,V_i,V(P)\) seien das äußere, innere Maß\ und Maß\ schlechthin der Vertikalmenge des Punktes \(P\); \(m_{n,a},m_{n,i},m_n\) das \(n\)-dimensionale \textit{Lebesgue}sche Maß. Wenn sowohl die Bildmenge \(I\) von \(f(P)\) in einem Grundbereich \(\varDelta _n\) meßbar als auch die Vertikalmenge in jedem Punkt \(P\) meßbar ist, so ist \(m_{n+1}(I)=\int V(P)dP\). Für eine beliebige Funktion \(f(P)\) gilt \[ m_{n+1,a}(I)\geqq \overline {\int }V_a(P)dP, \quad m_{n+1,i}(I)\leqq \underline {\int }V_i(P)dP. \] Weiter werden noch einige Beziehungen zwischen Meßbarkeit und Nichtmeßbarkeit der betrachteten Mengen angegeben.