Remarques sur un théorème de M. Fréchet. (Q565436)

\textit{Fréchet} hat folgenden Satz über Doppelfolgen meßbarer Funktionen bewiesen (Rendiconti Palermo 22 (1906) 1-74 (F. d. M. 37, 348 (JFM 37.0348.*)), insbesondere S. 16): Ist im Intervall \(I\) \[ f(x)=\lim \limits _{m\to \infty } \lim \limits _{n\to \infty } f_{n}^{m}(x), \] wobei die Funktionen \(f_n^m (x)\) in \(I\) meßbar seinen, so existieren zwei Folgen von Indieces \(m_k\) und \(n_k (k=1, 2, 3,\cdots )\) derart, daß\ fast überall in \(I\) \[ f(x)=\lim \limits _{k\to \infty }f_{n_k}^{m_k}(x) \] gilt. Die Frage, ob dieser \textit{Fréchet}sche Satz auch noch für Doppelfolgen von beliebigen (nicht-meßbaren) Funktionen gilt, wird vom Verf. (mittels des Auswahlaxioms) negativ beantwortet. (Seinem eigenen Beweis hierfür fügt Verf. noch einen zweiten Beweis von \textit{Saks} bei. ) Im Anschluß\ daran stellt Verf. ferner die Frage, ob der Satz vielleicht dann noch für beliebige Funktionen gilt, wenn man ``fast überal in \(I\)'' durch ``überall in \(I\), außer für eine Punktmenge vom inneren Maß\^^MNull'' ersetzt. Unter der Voraussetzung der Kontinuumhypothese wird auch diese Frage negativ beantwortet.