Relative summability. (Q565438)

Die Definition des ``\textit{Hildebrand}-Integrals'' \(Ht\int \limits _S fdx\) über eine im \(n\)-dimensionalen Raume gelegene Punktmenge \(S\) wird wiederholt (vgl. \textit{Hildebrandt}, 1918; F. d. M. 46, 383 (JFM 46.0383.*)). Dieser Integrallbegriff umfäßt den \textit{Lebesgue}schen und den \textit{Pierpont}schen, ist aber weiter, da er nicht an die Vorbedingung der Meßbarkeit von \(S\) und \(f\) auf \(S\) gebunden ist. Ist \(f\) beschränkt und \(S\) beschränkt, so existiert \(Ht\int \limits _S fdx\) schon dann, wenn \(S\) sich in eine endliche Anzahl von Mengen \(S=S_1+S_2+\cdots +S_p\) zerlegen läßt derart, daß\ \(f\) bezuglich jeder Menge \(S_i (1\leqq i\leqq p)\) trennbar ist; läßt man die Beschränktheit von \(f\) fallen, so ist noch die Existenz des \(Ht\)-Integrales einer approximativen Majorante von \(| f| \) auf \(S\) nötig. Den Zusammenhang mit dem \textit{Lebesgue}-Integral \(L\int \) deckt auf der \textit{Satz}: Die Menge \(S\) sei in dem beschränkten Bereich \(D\) enthalten, und die auf \(S\) definierte beschränkte Funktion \(f\) sei trennbar bezüglich \(S\). Dann gibt es in \(D\) eine beschränkte meßbare Funktion \(\varphi \), die fast überall auf \(S\) gleich \(f\) ist, und für die \(L\int \limits _D \varphi dx =Ht\int \limits _S fdx\) gilt. Eine Konstruktionsmethode für \(\varphi \) beschließt die Arbeit.