Sur les nombres dérivées des fonctions continues. (Q565449)

Die vorliegende Arbeit ist der Untersuchung gewidmet, unter welch\-en Bedingungen vier vorgegeben Funktionen als die allgemeinen Derivierten einer stetigen Funktion aufgefaßt werden können. Zu diesem Zweck führt Verf. für abge\-schlossene Mengen den Begriff der \((k)\)-Reduzierbarkeit ein: Eine lineare abgesch\-lossene Menge \(F\) hat die Eigenschaft \((k)\) im Punkte \(x\), wenn es rechts und links von \(x\) zu \(F\) gehörige Intervalle gibt, die einem beliebig großen Teil einer Umgebung von \(x\) ausmachen. Die Menge \(F\) heißt \((k)\)-reduzierbar, wenn für alle abgeschlossenen Teilmengen \(F_1\in F\) die Punkte, in denen \(F_1\) die Eigenschaft \((k)\) (bezüglich \(F_1\)) nicht besitzt, eine nicht überall in \(F_1\) dichte Menge ausmachen. Eines der charakteristischen Rezultate ist: Notwendig und hinreichend dafür, daß\ die Gleichungen \[ D^{+}F(x)-D_{+}F(x)=\xi (x),\quad D^{-}F(x)-D_{-}F(x)=\eta (x) \] für beliebige vorgegebene Funktionen \(\xi,\eta \geqq 0\) (endlich oder unendlich) vom Typus \(g_2\) (in der Bezeichnung von \textit{H. Hahn}) in den Punkten einer abgeschlossenen Menge \(F\) des Intervalles \((a,b)\) eine in diesem Intervall stetige Funktion \(F(x)\) als Lösung besitzen, ist die \((k)\)-Reduzierbarkeit der Menge \(F\). Zum Beweis seiner Sätze verwendet Verf. einen Satz von \textit{Stepanoff} und \textit{Goldowsky} (vgl. 1928; F. d. M. 54, 284 (JFM 54.0284.*)) über die Limites von gewissen Funktionenfolgen.