On the generalized derivatives. (Q565455)

Verf. beweist zwei Sätze \(A\) und \(B\) aus einer Arbeit von \textit{Verblunsky} (Proceedings L. M. S. (2) 31,(1930), 387-406; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 249), wobei er in Satz \(B\) eine von \textit{Verblunsky} noch benötigte einschränkende Voraussetzung über \(F'(x)\) fallen lassen und in der Behauptung die Konverxität von \(F'(x)\) hinzufügen kann: \textit{Satz A}. Es sei \(F(x)\) in einem Intervall, das \((x_0-3h_0,x_0+3h_o)\) als Teilintervall enthält, stetig; außerdem seien überall \(F'(x)\) und die verallgemeinerte dritte Ableitung \(D^3F(x)\) endlich. Dann liegt der Quotient \[ \frac {F(x_0+3h_0)-3F(x_0+h_0)+3F(x_0-h_0)-F(x_0-3h_0)}{8h_0^3} \] zwischen der oberen und der unteren Grenze von \(D^3F(x)\) im Intervall \[ (x_0-3h_0,x_0+3h_0). \] \textit{Satz B}. Im Intervall \((a,b)\) sei \(F(x)\) definiert und \(F'(x)\) vorhanden, im Inneren dieses Intervalles stets \(D^3F(x)>0\). Dann ist \(F'(x)\) stetig und konvex, und es ist stets \[ F(x+3h)-3F(x+h)+3F(x-h)-F(x-3h)\geqq 0, \] wenn \(h>0\) ist und das Intervall \((x-3h,x+3h)\) in \((a,b)\) liegt. Zum Beweise werden zwei interessante Begriffe eingeführt: Gibt es für eine im Intervall \(I\) definierte Funktion auf jeder abgeschlossenen Teilmenge einen Abschnitt, auf welchem sie nach oben halbstetig ist, so heißt \(F(x)\) in \(I\) von der Klasse \(u^{*}\); ist ferner auf einer Punktmenge \(Q\) eine Funktionenfolge \(\{ F_n(x)\}\) so beschaffen, daß\ für jeden Punkt \(x\) von \(Q\) sich eine Zahl \(N(x)\) angeben läßt, für die \(F_{n+1}(x)\leqq F_{n}(x)\) gilt, wenn \(n\geqq N(x)\) ist, so heißt die Funktionenfolge ``quasi nicht zunehmend''. Beide Begriffe sind miteinander verknüpft durch den am Schlusse der Arbeit stehenden Satz: Eine Funktion \(F(x)\) gehört genau dann zur Klasse \(u^{*}\), wenn sie die Grenzfunktion einer quasi nicht zunehmenden Folge von stetigen Funktionen ist.