Sur la convergence faible de I'intégral singulière avec noyau symmétrique. (Q565466)

In Verallgemeinerung eines Resultates von \textit{Lebesgue} (Sur les intég\-rales singulières, Annales Toulouse (3) 1 (1909), 25-117 (F. d. M. 41, 327 (JFM 41.0327.*)), insbes. p. 105) wird folgender Satz bewiesen: 1) Es gibt eine Zahl \(M\), so daß\ für alle \(n\) und fast alle \(x\) \[ \int \limits _a^b| \varphi _n(t,x)| dt\leqq M. \] 2) Wenn \(\alpha <x<\beta \), so gilt \[ \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{\alpha }^{\beta } \varphi _n(t,x)dt=1. \] Unter diesen Veraussetzungen gilt die Relation \[ \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _a^b g(x) \left ( \int \limits _a^b f(t)\varphi _n(t,x)dt\right ) dx= \int \limits _a^b g(x)f(x)dx \] für jede meßbare und beschränkte Funktion \(f(x)\) und für jedes summierbare \(g(x)\). Der Beweis folgt aus einem Satz von \textit{Lebesgue}.