Sur une modification de la formule d'interpolation de Lagrange. (Q565476)

Das zu den \textit{Tschebycheff}schen Wurzeln gehörige \textit{Lagrange}sche Interpolationspolynom \[ P_n(x)=T_n(x)\sum \limits _1^n \frac {f(x_k)}{(x-x_k)T_n'(x_k)} \] \[ \text{mit} \quad T_n(x)=\cos n\arccos x, \qquad x_k=\cos \left ( k-\frac 12\right ) \frac {\pi }{n} \] hat bekanntlich nicht die Eigenschaft, für eine beliebige in \({<}-1,+1{>}\) gegebene stetige Funktion \(f(x)\) mit \(n\to \infty \) gegen \(f(x)\) zu konvergieren; vielmehr sind hierfür noch gewisse Zusatzvoraussetzungen über \(f(x)\) erforderlich. Man kennt aber andere Interpolationspolynome vom Grade \(M<2N\) (\(N\) die Zahl der Interpolationsstellen), die mit \(N\to \infty \) diese Eigenschaft haben (vgl. \textit{Jackson}, 1914, \textit{S. Bernstein}, 1914, \textit{Fejér}, 1930; F. d. M. 45, 403 (JFM 45.0403.*), 409; \(56_{\text{I}}\), 112). Verf. zeigt, daß\ man sogar für jedes \(\lambda >1\) solche Interpolationspolynome mit \(M<\lambda N\) konstruiren kann. Er erreicht dies durch eine geringfügige Änderung in \(P_n(x)\). Es werden nämlich die der Größe nach geordneten \(x_k\) in Gruppen zu je \(2l\) benachbarten zusammengefaßt und die \textit{Lagrange}schen Polynome durch \[ Q_n(x)=T_n(x)\sum \limits _1^n \frac {A_k}{(x-x_k)T_n'(x_k)} \] ersetzt, wobei für \(k\neq 2ls\) wieder \(A_k=f(x_k)\), aber für \(k=2ls\) \[ A_{2l(s-1)+1}+A_{2l(s-1)+3}+\cdots +A_{2ls-1}= A_{2l(s-1)+2}+A_{2l(s-1)+4}+\cdots +A_{2ls} \] zu setzen ist. Hier ist \(M=n-1, N\geqq \dfrac {2l-1}{2l}n\) so daß\^^M\(\dfrac {M}{N}<\dfrac {2l}{2l-1}=\lambda \) für genügend großes \(l\) beliebig nahe an 1 liegt. Es wird dann bewiesen: Bei festem \(l\) streben die \(Q_n(x)\) in jedem Stetigkeitsintervall gleichmäßig gegen \(f(x)\), wenn nur diese Funktion in \({<}-1, 1{>}\) beschränkt bleibt. Für \(l=1\) wird man (nach Symmetrisierung) auf \[ Q_n^{*}(x)=\frac {T_n(x)}{2n}\sum \limits _1^n (-1)^{k+1} \frac {(f(x_k)+f(x_{k+1}))\sqrt {1-x_k^2}}{(x-x_k)}, \] \[ f(x_0)=f(x_1), f(x_{n+1})=f(x_n) \] geführt, und \(Q_n^{*}(x)\) hat die analoge Eigenschaft. Verf. gibt noch eine weitere ähnliche Konstruktionsmethode an, die, auf trigono\-metrische Interpolation übertragen, im Spezialfalle auf die \textit{Jackson}schen Polynome führt. Im Anschluß\ wird eine im Hinblick auf den \textit{Faber}schen Satz bemerkenswerte Fragestellung behandelt: Kann man \(m\) passende Stellen \(x_k\) in \({<}-1,+1{>}\) angeben, so daß\ für jedes Polynom \(P_n(x)\) vom Grade \(n\) mit \(\frac {m}{n}>\lambda \) und \(| P_n(x_k)| \leqq 1\) eine von \(n\) unabhängige Abschätzung \(| P_n(x)| \leqq M(\lambda )\) gilt? Diese Frage wird für \(\lambda >1\) positiv beantwortet.