Ein Satz über trigonometrische Polynome und seine Anwendung in der Theorie der Fourier-Reihen. (Q565524)

Es wird zunächst bewiesen: Die Folge positiver ganzer Zahlen \(\lambda _n\) erfülle die Bedingung \[ \frac {\lambda _{n+1}}{\lambda _n}>q>1. \] Dann gibt es zu jedem ganzen \(n>0\) und vorgegebenen Zahlen \[ \varepsilon _k',\varepsilon _k'' \quad \text{mit} \quad \sum \limits _{k=1}^{n}(\varepsilon _k^{'2}+\varepsilon _k^{"2})=1 \] ein trigonometrische Polynom \[ T_n(x)=\sum \limits _{i=0}^{n} (a_i\cos ix +b_i\sin ix) \] mit \(| T_n(x)| \leqq C(q)\) und \(a_{\lambda _k}=\varepsilon _k', b_{\lambda _k}=\varepsilon _k''\) für \(k\leqq n\). Hieraus folgt dann: Ist die Reihe \(\sum \limits _{n=1}^{\infty }(\varepsilon _n^{'2}+\varepsilon _n^{"2})\) konvergent, so gibt es eine stetige Funktion mit den \textit{Fourier}koeffizienten \(a_{\lambda _k}=\varepsilon _k',b_{\lambda _k}=\varepsilon _k''\). Es gibt also keine andere qualitative Aussage für die \textit{Fourier}koeffizienten stetiger Funktionen als die Konvergenz der \(\sum \limits _{1}^{\infty }(a_k^2+b_k^2)\). (Vgl. die nachstehend besprochene Arbeit. )