Contributions à l'étude de la série conjuguée d'une série de Fourier. (Q565548)

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Frage der Konvergenz bzw. Summierbarkeit der zur \textit{Fourier}reihe einer integrablen Funktion \[ f(x)\sim \frac {a_0}{2}+ \sum \limits _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx + b_n\sin nx) \] konjugierten Reihe \[ \sum \limits _{n=1}^{\infty }(a_n\sin nx - b_n\cos nx) \tag{1} \] an einer beliebigen Stelle \(x\). Zu dieser Frage liegen bekanntlich eine Reihe von Ergebnissen vor, denen die Voraussetzung der (nach \textit{J. Privaloff} (1919; F. d. M. 47, 296 (JFM 47.0296.*)-298) fast überall gesicherten) Existenz des uneigentlichen Integrals (``konjugier\-te Funktion'') \[ g(x)=\frac {1}{2\pi }\lim \limits _{\varepsilon \to 0} \int \limits _{\varepsilon }^{\pi } \psi (t)\text{ctg}\frac {t}{2}dt \quad \text{mit}\quad \psi (t)=f(x+t)-f(x-t) \tag{2} \] für die Stelle \(x\) gemeinsam ist. Verf. kommt nun zu einer Verallgemeinerung dieser Ergebnise, indem er an Stelle der Existenz von \(g(x)\) die Existenz des aus (2) formal durch partielle Integration hervorgehenden uneigentlichen Integrals \[ G(x)=\frac {1}{4\pi }\lim \limits _{\varepsilon \to 0} \int \limits _{\varepsilon }^{\pi }\varPsi (t)\text{cosec}^2\frac {t}{2}dt \quad \text{mit} \quad \varPsi (t)=\int \limits _{0}^{t}\varPsi (u)du \tag{3} \] voraussetzt. Die Existenz von \(g(x)\) zieht die von \(G(x)\) nach sich, während umge\-kehrt us der Existenz von \(G(x)\) die von \(g(x)\) nur für \(\varPsi (t)=o(t)\) folgt. Im einzelnen wird bewiesen: \textbf{I}. Konvergenz der Reihe (1): (a) Existiert \(G(x)\), so ist (1) zum Werte \(G(x)\) konvergiert, falls \[ \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{p}^{\pi } \frac {\varPsi (t)}{t}\cos nt dt=0 \] \[ \left ( p=\frac {2m+1}{n} \frac {\pi }{2},\quad 2m+1<n,\quad \text{\(m\) von \(n\) unabhängige ganze Zahl \( >0\) }\right ) \] gilt. (Vgl. \textit{A. Pringsheim}, 1900; F. d. M. 31, 253 (JFM 31.0253.*)-256. ) Hieraus folgt: (b) Existiert \(G(x)\), so konvergiert (1) zum Werte \(G(x)\), falls \[ \varPsi (t)=\frac {1}{t}\int \limits _{0}^{t}h(t)dt \quad \text{mit} \quad \int \limits _{0}^{t}| h(t)| dt=O(t) \] gilt. \textbf{II}. \((C,\delta )\)-Summierbarkeit der Reihe (1) für beliebiges \(\delta >1\): Existiert \(G(x)\), so ist (1) für jedes \(\delta >1\) zum Werte \(G(x)\) \((C,\delta )\)-summierbar, falls \[ \varPsi (t) =O(t)\quad \text{oder} \quad \int \limits _{0}^{t}\bigg | \frac {\varPsi (t)}{t}\bigg | dt=o(t) \] gilt. (Vgl. \textit{R. E. A. C. Paley}, 1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 246-247. ) \textbf{III}. \((C,r)\)-Summierbarkeit der Reihe (1) für ganzes positives \(r\): Es sei \[ \chi _1(t)=\omega _1(t)=\varPsi (t) \] und weiterhin \[ \chi _{\nu }(t)=\int \limits _{0}^{t}\frac {\chi _{\nu -1}(t)}{\sin t}dt,\quad \omega _{\nu }(t)=\int \limits _{0}^{t}\frac {\omega _{\nu -1}(t)}{t}dt \qquad (\nu =2,\cdots,r+1), \] wobei \(\dfrac {\chi _{\nu }(t)}{\sin t},\dfrac {\omega _{\nu }(t)}{t}\) für \((\nu =1, 2,\cdots,r)\) als absolut integrabel worausgesetzt werden. (a) Zunächst wird der allgemeine Satz bewiesen: Existiert das uneigentliche Integral \[ G_{r+1}(x)=\frac {1}{4\pi }\lim \limits _{\varepsilon \to 0} \int \limits _{\varepsilon }^{\pi } \chi _{r+1}(t)\text{cosec}^2\frac {t}{2}dt, \] so ist die Reihe (1) zum Werte \(G_{r+1}(x)\) \((C,r)\)-summierbar, falls \[ \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{\delta } \frac {\omega _r(t)}{t}\cdot \frac {\cos nt}{t} dt=0 \qquad (0<\delta <\pi ) \] gilt. (Vgl. \textit{G. H. Hardy, J. E. Littlewood}, 1925; F. d. M. 51, 222 (JFM 51.0222.*)-224 sowie \textit{R. E. A. C. Paley}, a. a. O. ) Existiert \(G_{r+1}(x)\), so ist diese Bedingung umgekehrt auch notwendig für die \((C,r)\)-Summierbarkeit, falls \[ \int \limits _{0}^{t} \bigg | \frac {\omega _r(t)}{t} \bigg | dt=O(t)\quad \text{oder}\quad \frac {1}{t}\int \limits _{0}^{t}\frac {\omega _{r+1}(t)}{t}dt \quad \text{schwankungsbeschränkt} \] ist. (b) Hieraus ergeben sich als Folgerungen die spezielleren Kriterien: Existiert \(G_{r+1}(x)\), so ist (1) zum Werte \(G_{r+1}(x)\) \((C,r)\)-summierbar, falls \[ \int \limits _{0}^{\delta }\bigg | \frac {\omega _{r}(t)}{t^2}\bigg | dt \quad \text{existiert},\qquad \text{oder} \quad \frac {1}{t}\int \limits _{0}^{t}\frac {\omega _r(t)}{t}dt \quad \text{schwankungsbeschränkt ist}, \] oder \[ \int \limits _{0}^{t}\bigg | \frac {\omega _{r-1}(t)}{t}\bigg | dt=O(t) \quad \text{für} \quad r\geqq 2 \quad \text{bzw. }\quad \int \limits _{0}^{t}| \psi (t)| dt=O(t) \quad \text{für} \quad r=1 \] ist. (Vgl. zum letzten Kriterium für \(r=1\) \textit{W. H. Young}, 1911; F. d. M. 42, 283 (JFM 42.0283.*)-284. ) \textbf{IV}. \textit{Poissin}sche Summation der Reihe (1): Dazu wird in Verallgemeinerung bekannter Sätze von \textit{P. Fatou} (1906; F. d. M. 37, 283 (JFM 37.0283.*)-285), \textit{L. Lichtenstein} (1912; F. d. M. 43, 887 (JFM 43.0887.*)-888) und \textit{A. Plessner} (1923; F. d. M. 49, 204 (JFM 49.0204.*)) bewiesen: ist \[ V(r,x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }(b_n\cos nx-a_n\sin nx)r^n \qquad (0\leqq r<1), \] so gilt \[ \lim \limits _{r\to 1}\left ( V(r,x)-\frac {1}{4\pi } \int \limits _{s}^{\pi }\varPsi (t)\text{cosec}^2\frac {t}{2}dt\right ) =0 \qquad \text{mit} \quad \varepsilon =\arcsin (1-r), \] falls \[ \lim \limits _{t\to 0}\frac {1}{t} \int \limits _{0}^{t}\frac {\varPsi (t)}{t}dt=0 \] gilt. Den Schluß\ der Arbeit bildet ein Verzeichnis der gesamten auf die zu den \textit{Fourier}\-reihen konjugierten Reihen bezüglichen Literatur.