The theory of functions. (Q565615)

Dieses Buch will ein Führer durch die Höhere Analysis sein, eine Fortsetzung des Werks von \textit{Hardys} ``Course of pure mathematics'' (4\(^{\text{th}}\) ed. 1925; F. d. M. 51, 172 (JFM 51.0172.*)). Es bringt daher nicht nur komplexe Funktionentheorie im klassischen Sinne; die letzten Kapitel enthalten eine ausgezeichnet verständliche Darstellung der \textit{Lebesgue}schen Maßtheorie, die auch klar die Unterschiede zum \textit{Riemann}schen Integralbegriff an allen wichtigen Stallen herausstellt. Der Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration wird tief verfolgt: der \textit{Denjoy}sche Staz über die vier Derivierten einer Funktion findet sich hier. Im letzen Kapitel bietet die Behandlung der \textit{Fourier}reihen willkommenen Anlaß zur Anwendung der \textit{Lebesgue}schen Theorie. Der \textit{Riesz-Fischer}sche Satz wird bewiesen; zuletzt werden noch bei Aussagen über \textit{Fourier}transformierte modernste Beweise entwickelt. Im Beginn werden in bekannter Weise Sätze über unendliche Reihen, Produkte, absolute und gleichmäßige Konvergenz, Doppelreihen gebracht. In diesem konkret geschriebenen Kapitel werden allgemeine Sätze mit \(n\) Veränderlichen ganz vermieden, entsprechend dem Ziel, nur den Weg in die klassische Funktionentheorie zu ebnen. Kap.2 bringt Begriff und einige Eigenshaften der analytischen Funktionen, z. B. den \textit{cauchy}schen Integralsatz, \textit{Taylor}- und \textit{Laurent}reihen, Folgen analytischer Funktionen. Die Methode ist verständlicherweise ohne Besonderheit. Vom Kap.3 an macht sich ausschlaggebend die Interessenrichtung des Oxfordkreises, die analytische Zahlentheorie, in Auswahl und Behandlung des Stoffes bemerkbar. Die Methode bleibt die alte klassische, natürlich mit allen modernen Vereinfachungen. Residuen, Pole, Nullstellen, \textit{Poisson}sches Integral, \textit{Jensen}scher Satz sind die bekannten Stationen des nächsten Kapitels. Ein Satz von \textit{Carleman} (1922; F. d. M. 49, 708 (JFM 49.0708.*)) und ein Hilfssatz von \textit{Littlewood} (Proceedings Cambridge 22 (1924), 295-318 (F. d. M. 50, 230 (JFM 50.0230.*)), S. 229, Theorem 1) geben ein eigenes Gesicht. Analytische Fortsetzung, Maximumprinzip (mit \textit{Carathéodory}scher Ungleichung), \textit{Vitali-Montel}sche Sätze füllen zwei weitere Kapitel. Kap.6 bringt auf 20 Seiten einen ausgezeichneten Abriß über konforme Abbildung, der bis zum Abbildungssatz führt, aber natürlich speziellere geometrische Aussagen übergeht. In dem Kapitel über Potenzreihen mit endlichem Radius wird neben den Lückensätzen auch Wichtigstes aus dem \textit{Tauber}schen Ideenkreis gebracht und dabei der Beitrag \textit{Karamata}s nicht vergessen. Kap.8 bringt dir \textit{Weierstraß}sche Produktdarstellung ganzer Funktionen. Als Anwendung das Minimum bei Funktionen endlicher Ordnung. Der \textit{Schottky}sche Satz, der Satz von {it Landau} und die beiden \textit{Picard}schen Sätze (ohne genaue Konstante) bilden den Schluß deses Kapitels. Kap. 10, das letzte des funktionentheoretischen Teils, gibt einen getreu den Geist der englischen Schule wiederspiegelnden Abriß über \textit{Dirichlet}reihen. - Am Ende eines jeden Kapitels befinden sich ausgewählte Aufgaben. Ein gutes Lehrbuch, das zusammen mit anderen Büchern über Funktionentheorie ein nützlicher und vergnüglicher Fḧrer sein kann. (IV 2, 3 C, 3 D, 5.)