Addition au mémoire ``Sur la convergence des séries formées avec les itérées successives d'une fraction rationnelle'' (Acta, tome 56). (Q565722)

In Ergänzung einer früheren Arbeit (Acta Math. 56 (1930), 149-195; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 965) zeigt Verf: Notwendig und hinreichend dafür, daß die Reihe \(\Sigma a_n R_n (z)\) in jedem abgeschlossenen Teilbereich des Anziehungsbereiches \(\Delta \alpha \) (1931; F. d M. \(57_{\text{I}}\), 381) eines Fixpunktes \(\alpha \) mit \(R' (\alpha ) = +1\), \(R'' (\alpha ) = \dots = R^{(p)} (\alpha ) = 0\), \(R^{(p+1)} (\alpha ) \neq 0\) gleichmäßig (auf der Zahlenkugel betrachtet) konvergiert, ist: 1) falls \(\alpha \neq 0\) und \(\neq \infty \), die Konvergenz von \(\Sigma a_n\); 2) falls \(\alpha = 0\), die Konvergenz von \(\Sigma a_n n^{-\frac {1}{p}}\); 3) falls \(\alpha = \infty \), die Konvergenz von \(\Sigma a_n n^{\frac {1}{p}}\). Der Fall \(p=1\) war bereits in der genannten früheren Arbeit behandelt worden.