Sur le cercle d'univalence d'une fonction holomorphe et sur la plus petite distance entre deux zéros d'une équation \(f(x) = A\). (Q565735)

Ist \(f(x)\) für \(|x|<R\) regulär, so ist der Radius des Kreises \(|x|<R_0\), in dem \(f(x)\) schlicht ist, gleich den Radien des Paares gleichgroßer assoziierter Konvergenzkreise der Potenzreihe in zwei Veränderlichen \[ \frac {u-v}{f(u)-f(v)} = b_0 + b_1(u+v) + (b_{20}u^2 + b_{11}uv + b_{02}v^2) + \dots. \] Ist \(u\) eine Lösung von \(f(x) = A\), und ist \(v\) die nächstliegende, so ist \(d=|v-u|\) mindestens gleich dem Konvergenzradius von \[ \frac {1}{f'(u) + \frac {v-u}{2} f''(u) + \frac {(v-u)^2}{3!} f'''(u) + \dots } \,. \] der sich abschätzen läßt durch \(R\), \(f(0)\), \(A\) und \(\text{Max}_{|x|=R} f(x)\). (IV 5.)