On Milloux' theorem (Q565747)

Die Arbeit enthält die bis dahin beste Form des \textit{Milloux}schen Satzes (bei \textit{Landau} (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 270) findet sich unter schwächren Voraussetzungen eine schwächere Aussage). Ist nämlich \(f(z)\) regulär in dem Gebiet \(G\), das man aus dem Einheitskreis durch Aufschlitzen längs eines \textit{Jordan}bogens \(C\) von 0 nach \(|z| =1\) erhält, und gilt daselbst \(|f(z)|<1\), während für jede Punktfolge \(a_{\nu }\), welche aus \(G\) gegen \(C\) strebt, gilt \[ \overline {\lim } |f(a_{\nu })| \leq \mu \quad \text{mit} \quad 0 < \mu < 1 \,. \] so gibt Verf. die genaue allgemeine obere Schranke für \(|f (z_0)|\) in einem beliebigen inneren Punkt \(z_0\) von \(G\). Es ist nämlich \[ |f(z_0)| \leq \exp \left ( \left ( 1 - \frac {4}{\pi } \arctan \sqrt {|z_0|} \right ) \log \mu \right ). \] Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn \(C\) der Radius ist, auf dessen Verlängerung über 0 hinaus \(z_0\) liegt, und wenn \(f(z)\) diejenige beschränkte Funktion ist, deren Betrag auf \(|z|=1\) die Randwerte 1, auf \(C\) die Randwerte \(\mu \) hat. Der Beweis beruht außer auf dem Zweikonstantensatz (der eine von dem speziellen \(G\) abhängige Abschätzung ergibt) auf einer allen zulässigen \(G\) zukommenden Eigenschaft, die sich mittels des \textit{Koebe-Bieberbach-Faber}schen \(\frac {1}{4}\)-Satzes aus der Theorie der schlichten Funktionen ergibt. Zum Schluß wird ein Beweis dafür in Aussicht gestellt, daß die Abschätzung auch dann noch die bestmögliche ist, wenn für \(f(z)\) nur die im vollen Einheitskreis regulären Funktionen mit obigen Eigenschaften zugelassen sind. \textit{R.Nevanlinna} hat inzwischen das Resultat des Verf. unter noch schwächeren Voraussetzungen (die insbesondere auch nicht über die von \textit{Landau} hinausgehen) erzielt (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 348).