Sur les directions de Borel des fonctions entières d'ordre fini. (Q565775)

Im Anschluß an die vorstehend besprochene Note wird der Zusammenhang mit den \textit{Borel}schen Richtungen untersucht und dazu der verschärfte Typus von \(f(z)\) \[ \overline {\lim }_{r \to \infty } \log M(r) \cdot r^{-\varrho (r)} = A \leqno (5) \] herangezogen; es sei \(A > 0\) (Normaltypus). Hat man dann \(r^{\varrho _1(r)} = O (r^{\varrho _1(r)})\), und ist \(\prod (z)\) eine beliebige ganze Funktion vom Minimaltyp und der verschärften Ordnung \(\varrho _1 (r)\), so können mittels der Nullstellenverteilung von \(f(z) - \prod (z)\) die \textit{Borel}schen Richtungen der Verschärften Ordnung \(\varrho _1(r)\) von \(f(z)\) definiert werden; sie werden im Sonderfalle \(\varrho _1 (r) = \varrho (r) + O \left ( \frac {1}{\log r} \right )\) als von der Ordnung \(L\) bezeichnet. Jede ganze Funktion endlicher Ordnung hat mindestens eine \textit{Borel}sche Richtung der Ordnung \(L\); ist \(\varrho > \frac {1}{2}\), so gibt es deren mindestens zwei. Zwischen diesen Richtungen und dem zu \(\varrho _1(r)\) gehörigen, analog (*) definierten Strahltypus \(h_1 (\theta )\) bestehen enge Beziehungen, die aus der Form von \(h_1 (\theta )\) auf die Exitenz jener Richtungen schließen lassen. Ist z. B. \(h_1(\theta ) > 0\) für \(\alpha < \theta < \beta \), wobei \(\frac {\pi }{\varrho _1} < \beta - \alpha < 2 \pi \), so liegt im Winkelraum \(\alpha < \arg z < \beta \) mindestens eine \textit{Borel}sche Richtung der verschärften Ordnung \(\varrho _1 (r)\); ist dann genauer noch \(h_1 (\alpha ) = 0\), so ist die \(\alpha \)-Richtung eine solche \textit{Borel}sche Richtung.