Sur les dérivées seconde et troisième d'une fonction holomorphe et univalente dans le cercle unité. (Q565897)

Für eine im Einheitskreise schlichte Funktion \[ f(z) = z+a_2z^2 + a_3z^3 + \dots \leqno (1) \] gilt \(| a_2 | \leq 2\), \(| a_3 | \leq 3\), und die Schranken werden im wesentlichen nur von der Funktion \(\frac {z}{(1-z)^2}\) erreicht. Indem man \(f(l(z))\), wo \(l(z)\) eine lineare Transformation von \(|z|<1\) in sich bedeutet, bei \(z=0\) wieder wie (1) normiert und obige Ungleichungen auf die Koeffizienten der so entstandenen schlichten Funktion anwendet, findet man \[ |f'' (z)| \leq \frac {4+2|z|}{(1-|z|)^4}, \quad |f''' (z)| \leq \frac {18+6|z|}{(1-|z|)^5} \,, \] wo die Schranken von der genannten speziellen Funktion erreicht werden. Wäre die Vermutung \(|a_n| \leq n\) allgemein bewiesen, so folgte weiter \[ |f^{(n)} (z)| \leq n! \frac {n +|z|}{(1-|z|)^{n+2}} \,. \]