Contribution à la théorie des fonctions univalentes. (Q565906)

\(f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \dots \) sei regulär für \(|z|<1\); man setze \(\varphi (z) = z \frac {f'(z)}{f(z)}\). \textit{Satz}: Ist \(\varphi (z)\) regulär für \(|z|<1\), und gibt es eine komplexe Zahl \(\alpha \), so daß \[ \mathfrak R (\alpha \varphi (z)) > 0 \quad \text{für} \quad |z|<1 \,, \leqno (1) \] so ist \(f(z)\) schlicht für \(|z|<1\), und es ist \(|a_n | \leq n\). (Man beachte, daß die Bedingung (1) für \(\alpha =1\) die sogenannten Sternfunktionen charakterisiert.) - Es folgen einige Bemerkungen über die Koeffizienten \(a_2, a_3, \dots \) der Sternfunctionen und derjenigen Funktionen, welche den Bedingungen des Satzes genügen.