Über sternige und konvexe Abbildung. (Q565909)

1) Ist \[ z + a_2z^2 + \dots = f(z) \] in \(|z|<1\) reguär und \(\varrho \) die größte positive Zahl, für die \[ 2^2 |a_2| \varrho + 3^2 |a_3| \varrho ^2 + \dots \leq 1 \] ist, so bilden \(f(z)\) und seine sämtlichen Abschnitte den Kreis \(|z|< \varrho \) auf konvexe Bereiche ab. Der \textit{Cauchy}sche Koeffizientensatz führt von hier zu Bedingungen der konvexen Abbildung bei Kenntnis einer Schranke für \(| f(z)|\) oder \(|f'(z)|\) in \(|z|<1\). 2) Ist \[ z + a_2z^2 + \dots = f(z) \] regulär in \(|z|<1\), und ist \(\varrho \) die größte positive Zahl, für die \[ 2 |a_2| \varrho + 3 |a_3| \varrho ^2 + \dots \leq 1 \] ist, so bilden \(f(z)\) und seine sämtlichen Abschnitte den \(|z|< \varrho \) sternig ab. Daraus ergeben sich ähnliche Folgerungen wie bei dem ersten Satz.