Über die Riemannsche Fäche einer analytischen Funktion. (Q565923)

Dieser Vortrag gibt ein eindrucksvolles Bild von dem Zusammenwaschen zweier Zweige der funktionentheoretischen Forschung, die sich unabhängig voneinander schon sehr weit entwickelt hatten: der Uniformisierungstheorie und der Werteverteilungstheorie. Die erstere hatte das Typenproblem offen gelassen, nämlich die Frage, ob die als möglich bewiesene konforme Abbildung einer einfach zusammenhängenden \textit{Riemann}schen Fläche auf eine Kreisscheibe einen endlich oder einen unendlichen Kreis gibt (ob die Fläche vom hyperbolischen oder vom parabolischen Typus ist). Bedeutsame Beiträge zu dieser Frage finden sich in der insbesondere mit dem Namen des Verf. Vefknüpften Werteverteilungslehre (vgl. insbesondere dessen in F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 773 besprochene Monographie). Beispiele und heuristische Überlegungen zeigen, daß die Flächen vom hyperbolischen Typus ``stärker verzweigt'' sind, als die vom parabolischen. Man wird also auf die Aufgabe geführt, ein vernünftiges Maß für die Verzweigtheit einer \textit{Riemann}schen Fläche zu finden. Dies kann naturgemäß bei einer offenen Fläche nicht anders geschehen als durch geeignete Ausschöpfung durch elementare Näherungsflächen, deren jeder ein Verzweigungsmaß zugeschrieben wird, das ähnlich gebildet werden kann, wie das geschlossener Flächen; sein Grenzwert gibt, wenn er existiert, das Verzweigungsmaß für die ganze Fläche ab. Das Resultat hängt dabei von dem gewählten Ausschöpfungsprozeß ab. Verf. schildert zwei solche Prozesse: Einen vom geometrischen Standpunkt aus nahegelegten, bei dem er sich im Anschluß an \textit{Speiser} (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 987; vgl. dazu auch \textit{Elfving}, 1934; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1034) der Darstellung der \textit{Reiemann}schen Fläche durch Streckenkomplexe bedient; das Verfahren ist jedoch nur f|'ur spezielle Flächenklassen anwendbar. Der zweite Prozeß ist der, der sich aus der Werteverteilungstheorie ergibt, wo man die Fläche ausschöpft durch die Bilder der Kreise, die das (kreisförmige) Existenzgebiet der Funktion ausschöpfen, die die Fläche als Bild erzeugt. Eine Hauptaufgabe der Forschung sieht Verf. darin, diejenigen Flächen zu bestimmen, für die beide Wege zum gleichen Verzweigungsmaß führen. Schließlich gibt er einen Überblick über die wichtigsten seither vorhandenen Typenkriterien; es sind dies hauptsächlich die notwendigen Bedingungen für den parabolischen Fall, die in den Verallgemeinerungen des \textit{Picard}schen Satzes liegen. Zu denen der rein analytischen Werteverteilungslehre sind in neuerer Zeit die der geometrischen Frage besser angepaßten Verallgemeinerungen von \textit{Ahfors} getreten (vgl. z. B. 1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 354; \(59_{\text{II}}\), 1033). Auf eine vom Verf. später veröffentlichte hinreichende Bedingung für den parabolishen Fall wird hingewiesen (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 354).