Quelques propriétés des surfaces de Riemann correspondant aux fonctions méromorphes. (Q565924)

Wiedergabe einer Vorlesung an der Sorbonne vom 17.6.1932. Verf. gibt einen Überblick über die (damals noch recht dürftigen) Kriterien zur Unterscheidung der mehrdeutigen, schlichten Funktionen \(z(w)\) in parabolische und hyperbolische. Läß t man den Fall, daß \(z(w)\) die Umkehrung einer rationalen Funktion ist, beiseite, so gibt es stets mindestens einen Wert, den \(z(w)\) ausläßt, und für diesen kann \(\infty \) genommen werden. Der parabolische Fall liegt vor, wenn dies der einzige Ausnahmewert ist, andernfalls hat man es mit dem hyperbolischen zu tun. Hinreichende Bedingungen für den parabolischen Fall sind erst seit neuerer Zeit bekannt, und sie sind noch recht speziell; es sind dies: ein Satz des Verf. (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 370), sowie ein Ergebnis von \textit{R.Nevanlinna} (s. das nachstehende Referat). Hinreichende Bedingungen für den hyperbolischen Fall sind, außer zwei älteren Sätzen von \textit{Iversen} und \textit{Groß}, eine auf dem zweiten Hauptsatz der \textit{Nevanlinna}schen Theorie fußende, sowie die im \textit{Bloch}schen Satze (in seiner von \textit{Valiron} für ganze Funktionen angegebenen Form) enthaltene. Verf. gibt schließlich eine Beweisskizze für einen diese beiden Kriterien gleichzeitig verallgemeinerden Satz, der aus dem erstgenannten nach dem \textit{Bloch}schen Prinzip der ``topologischen Kontinuität'' hervorgeht (1926; F. d. M. 52, 315 (JFM 52.0315.*)). Eine ausführliche Darstellung ist inzwischen erschienen (1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1033).