Elementary transformations. (Q565936)

Nach \textit{Liouville} sind die elementaren Funktionen der Ordnung 0 in einer beliebigen Zahl von Variablen \(u_1, \dots, u_k\) definiert als die algebraischen Funktionen von \(u_1, \dots, u_k\). Eine elementare Funktion der Ordnung 1 ist eine Funktion, die, ohne von der Ordnung 0 zu sein, algebraisch in \(u_1, \dots, u_k\) und in Exponential- und logarithmischen Funktionen von algebraischen Funktionen ist, usw. Verf. stellt für elementare Funktionen von zwei Veränderlichen eine Anzahl von Eigenschaften auf, die von \textit{Ritt} (1925; F. d. M. 51, 275 (JFM 51.0275.*)) für elementare Funktionen einer Variablen bewiesen worden sind. Eine Transformation heißt elementar von der Ordnung \(n\), wenn mindestens eine der vermittelnden Funktionen von der Ordnung \(n\), aber keine von höherer Ordnung ist. \(T\) sei eine elementare Transformation der Ordnung 1 in zwei Variablen, deren Inverse elementar von der Ordnung 1 ist. Verf. zeigt die Existenz von algebraischen Transformationen \(A_1\) und \(A_2\), sodaß \(A_1 T A_2\) einem von fünf speziellen Typen angehört.