Ein Seitenstück der Formel von O. Rodrigues. (Q565942)

Es handelt sich um eine neue Darstellung \[ X_h (x) = \frac 1{2^h h!} x^{-h-1} \frac {d^h (x^{-h+1} p^h)}{d(x^{-1})^h} \] der \textit{Rodrigues}schen Formel für \textit{Legendre}sche Polynome \[ X_h (x) = \frac {(-1)^h d^h p^h}{2^h h!} \frac {d^h p^h}{dx^h}, \qquad p=p(x)=1-x^2; \] sowie um neue Darstellungen der \textit{Gegenbauer}schen Polynome (in einer bzw. zwei Veränderlichen) in der Form: \[ \begin{gathered} P_h (x; \alpha ) = (-1)^h x^{-h-1} p^{-\alpha } \frac {d^h (x^{-h+1} p^{\alpha +h})}{d(x^{-1})^h}, \\ P_{hk}(x,y; \alpha )=(-1)^g x^{-h-1} y^{-k-1} q^{-\alpha } \frac {\partial (x^{-h+1} y^{-k+1} q^{\alpha +g})}{\partial (x^{-1})^h \partial (y^{-1})^k},\\ \alpha >1, g=h+k, q=q(x,y)=1-x^2 -y^2. \end{gathered} \] Die Beweisführung bietet Gelegenheit, die Differentialgleichung der \textit{Gegenbauer}schen Polynome in ihrer Ableitung aus der ``Stammgleichung'' vorteilhaft zu benutzen.