Les polynômes orthogonaux. (Q565964)

Verf. stellt die bekannten Eigenschaften der durch die Beziehungen \[ \int _a^b \varphi (x)\,P_m(x)\,P_n(x)\,dx = \begin{cases} 0 & \text{für }\; m\neq n\\ I_n \neq 0 & \text{für }\; m=n \end{cases} \] definierten Polynome zusammen, also insbesondere die Eindeutigkeit, die Existenz einer dreigliedrigen Rekursionsformel, den Zusammenhang mit den Kettenbrüchen, die Darstellung \[ P_n(x)=\frac 1{\varphi (x)(b-a)^n n!} \frac {d^n}{dx^n} ((x-a)^n (x-b)^n \psi _n(x)). \] Er zeigt, daß im Falle \(\psi _n(x) \equiv \psi (x)\) für alle \(n\) eine erzeugende Funktion vorhanden ist, und bestimmt schließlich die Grenzwerte \[ \begin{aligned} \lim _{n\to \infty } \root {n}\of {P_n(x)} &= \exp \int _0^1 \log \left ( x-\frac {b-a}2 \cos \pi \varTheta - \frac {a+b}2 \right )\,d\varTheta,\\ \lim \root {n}\of {|P_n(x)|} &= \frac {b-a}4 |z|; \end{aligned} \] \(z\) ist die absolut größte Wurzel von \(z^2+\frac 4{b-a} \left ( x+\frac {a+b}2 \right ) z+1=0\). (Vgl. u.a. \textit{Abramesco}, 1930; JFM 56.0947.*.)