On a generalization of the Lagrange-Gauß modular algorithm. (Q566033)

Verf. verallgemeinert den Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels in folgender Weise: \[ a_{n+1}=\{ \frac 12 (a^{\varrho }_n +b^{\varrho }_n)\}^{\frac 1{\varrho }}, \; n_{n+1} = \sqrt {a_n b_n} \qquad (n=0,1,2,\dots ), \] und zeigt, daß er für positiv reelle \(a,b\) gegen einen Grenzwert \[ \lim a_n =\lim b_n=M_{\varrho } (a,b) \] konvergiert, der selbst monotone Funktion von \(\varrho \) ist und für kleine \(b\) sich so verhält, daß der Grenzwert \[ p_{\varrho }=\lim _{\varepsilon \to 0} \{ M_{\varrho }(1,\varepsilon )(\log (2^{\frac 2{\varrho }} \varepsilon ^{-1}))^{\frac 1{\varrho }} \} \] existiert. Vgl. die nachstehend besprochene Note.