Integralgleichungen und Funktionalräume. (Q566062)

In der Einleitung werden Eigenschaften eines Funktionalraums in bezug auf ein { schiefwinkliges} Koordinatensystem behandelt; insbesondere wird ein Kriterium gegeben, wann eine Funktion mit gegebenen Komponenten existiert (verallgemeinerung des \textit{Fischer-Riesz}schen Satzes), und die Aufgabe gelöst, gegebenenfalls eine solche Funktion zu konstruieren. Ferner werden die Eigenschaften minimaler Funktionensysteme untersucht, d. h. solcher, deren zugehöriger Raum sich wesentlich verringert, wenn eine Funktion des Systems entfernt wird. Die Resultate der Einleitung stellen lediglicht eine Verallgemeinerung von Ergebnissen, die Verf. anderweitig (1930; JFM 56.0952.*) gewonnen hat, auf den Fall komplexer Funktionen dar und sind daher größtenteils ohne Beweise dargestellt. Bisher handelte es sich um Funktionen in { einer} Veränderlichen. Der Abschnitt I bringt nun in der Hauptsache Hilfsbetrachtungen, welche Definitionen und Sätze aus der Einleitung auf den Fall von Funktionen { zweier} Veränderlichen verallgemeinern. Mit dem Abschnitt II beginnt die Behandlung von Integralgleichungen. In mehreren Formen wird ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür gegeben, daß ein gegebenes System von Funktionen \(\varphi _i (x)\) und Konstanten \(\lambda _i\) die rechten Eigenfunktionen und Eigenwerte eines unsymmetrischen Kerns einer \textit{Fredholm}schen Integralgleichung darstellt, und es wird die Aufgabe gelöst, gegebenenfalls der Kern kleinster Norm mit gegebenen Eigenwerten und rechten Eigenfunktionen zu konstruieren. Der konstruierte Kern heißt einfach. Jeder symmetrische Kern ist einfach. Der Untersuchung aller für rechte Eigenfunktionen behandelten Fragen geht stets parallel die Behandlung der entsprechenden Fragen für rechte, dem Kern \(K\) eigentümliche Funktionen, d. h. solche nich identisch verschwindende Funktionen \(\varphi _i (x)\), für die \[ \varphi (x) =\lambda \int _a^b K(x,s) \bar {\varphi } (s)\,ds \] gilt. Abschnitt III beschäftigt sich mit charakteristischen Eigenschaften der Eigenfunktionen (eigentümlichen Funktionen) \(\varphi _i (x)\) und der Eigenwerte. Für erstere ist die Minimalität des Systems, für letztere das Erfülltsein der \textit{Schur}schen Bedingung, Konvergenz von \(\sum |\lambda _i|^{-2}\), eine charakteristische Eigenschaft. Dagegen sind beide Bedingungen zusammen nicht hinreichend für die Existenz eines Kerns mit den Eigenfunktionen \(\varphi _i\) und den Eigenwerten \(\lambda _i\). Abschnitt IV handelt von Eigenschaften des einfachen Kerns, der als natürliche Verallgemeinerung des symmetrischen Kerns erscheint. Abschnitt V behandelt Fragen, die mit der Konstruktion eines Kerns mit gegebenen rechten und linken Eigenfunktionen und Eigenwerten zusammenhängen. Im Abschnitt VI werden Sätze bewiesen, die aus den bekannten \textit{Fredholm}schen Sätzen über Integralgleichungen entstehen, wenn man die Eigenfunktionen durch eigentümliche Funktionen ersetzt. Im Abschnitt VII wird ein beliebiger Kern additiv in einen einfachen und einen Restkern zerlegt und letzterer untersucht. Die Resolvente des gegebenen Kerns hat dann und nur dann lauter einfache Pole, wenn der Restkern keine Eigenwerte hat. Der letzte Abschnitt VIII handelt von der Auflösung inhomogener \textit{Fredholm}scher Integralgleichungen. Insbesondere wird gezeigt, daß diese Aufgabe sich zurückführen läßt auf die Aufgabe, eine Funktion mit gegebenen Komponenten zu konstruieren.